Calcolo Esempi

$y = 8 \sin (π x - y)$ , $(1, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 \sin (π x - y))$

Passaggio 1.2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \sin (π x - y)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\sin (π x - y)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (π x - y)]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x - y$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $π x - y$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x - y])$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$8 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x - y])$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π x - y$ .

$8 (\cos (π x - y) \frac{d}{d x} [π x - y])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $π x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$8 \cos (π x - y) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 1.3.3.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \cos (π x - y) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 1.3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 \cos (π x - y) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 1.3.3.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$8 \cos (π x - y) (π + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 1.3.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 \cos (π x - y) (π - \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$8 \cos (π x - y) (π - y')$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 8 \cos (π x - y) (π - y')$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 1.5.1

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.5.1.1

Semplifica $8 \cos (π x - y) (π - y')$ .

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Passaggio 1.5.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = 8 \cos (π x - y) π + 8 \cos (π x - y) (- y')$

Passaggio 1.5.1.1.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.5.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$y' = 8 \cos (π x - y) π - 8 \cos (π x - y) y'$

Passaggio 1.5.1.1.2.2

Riordina i fattori in $8 \cos (π x - y) π - 8 \cos (π x - y) y'$ .

$y' = 8 π \cos (π x - y) - 8 y' \cos (π x - y)$

Passaggio 1.5.2

Somma $8 y' \cos (π x - y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y' + 8 y' \cos (π x - y) = 8 π \cos (π x - y)$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $y'$ da $y' + 8 y' \cos (π x - y)$ .

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Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 + 8 y' \cos (π x - y) = 8 π \cos (π x - y)$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi $y'$ da $8 y' \cos (π x - y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (8 \cos (π x - y)) = 8 π \cos (π x - y)$

Passaggio 1.5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' \cdot 1 + y' (8 \cos (π x - y))$ .

$y' (1 + 8 \cos (π x - y)) = 8 π \cos (π x - y)$

Passaggio 1.5.4

Dividi per $1 + 8 \cos (π x - y)$ ciascun termine in $y' (1 + 8 \cos (π x - y)) = 8 π \cos (π x - y)$ e semplifica.

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Passaggio 1.5.4.1

Dividi per $1 + 8 \cos (π x - y)$ ciascun termine in $y' (1 + 8 \cos (π x - y)) = 8 π \cos (π x - y)$ .

$\frac{y' (1 + 8 \cos (π x - y))}{1 + 8 \cos (π x - y)} = \frac{8 π \cos (π x - y)}{1 + 8 \cos (π x - y)}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $1 + 8 \cos (π x - y)$ .

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Passaggio 1.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (1 + 8 \cos (π x - y))}{1 + 8 \cos (π x - y)} = \frac{8 π \cos (π x - y)}{1 + 8 \cos (π x - y)}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{8 π \cos (π x - y)}{1 + 8 \cos (π x - y)}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 π \cos (π x - y)}{1 + 8 \cos (π x - y)}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 1$ e $y = 0$ .

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Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$\frac{8 π \cos (π (1) - y)}{1 + 8 \cos (π (1) - y)}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $0$ nell'espressione.

$\frac{8 π \cos (π (1) - (0))}{1 + 8 \cos (π (1) - (0))}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.7.3.1

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 1.7.3.1.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{8 π \cos (π - (0))}{1 + 8 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Passaggio 1.7.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{8 π \cos (π + 0)}{1 + 8 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Passaggio 1.7.3.2

Somma $π$ e $0$ .

$\frac{8 π \cos (π)}{1 + 8 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Passaggio 1.7.3.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{8 π (- \cos (0))}{1 + 8 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Passaggio 1.7.3.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{8 π (- 1 \cdot 1)}{1 + 8 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Passaggio 1.7.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{8 π \cdot - 1}{1 + 8 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Passaggio 1.7.3.6

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{- 8 π}{1 + 8 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{- 8 π}{1 + 8 \cos (π - (0))}$

Passaggio 1.7.4.2

Sottrai $0$ da $π$ .

$\frac{- 8 π}{1 + 8 \cos (π)}$

Passaggio 1.7.4.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{- 8 π}{1 + 8 (- \cos (0))}$

Passaggio 1.7.4.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{- 8 π}{1 + 8 (- 1 \cdot 1)}$

Passaggio 1.7.4.5

Moltiplica $8 (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 1.7.4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 8 π}{1 + 8 \cdot - 1}$

Passaggio 1.7.4.5.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{- 8 π}{1 - 8}$

Passaggio 1.7.4.6

Sottrai $8$ da $1$ .

$\frac{- 8 π}{- 7}$

Passaggio 1.7.5

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{8 π}{7}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{8 π}{7}$ e un punto dato $(1, 0)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{8 π}{7} \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 0 = \frac{8 π}{7} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = \frac{8 π}{7} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $\frac{8 π}{7} \cdot (x - 1)$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{8 π}{7} x + \frac{8 π}{7} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.2.2

$\frac{8 π}{7}$ e $x$ .

$y = \frac{8 π x}{7} + \frac{8 π}{7} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.2.3

Moltiplica $\frac{8 π}{7} \cdot - 1$ .

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Passaggio 2.3.2.3.1

$\frac{8 π}{7}$ e $- 1$ .

$y = \frac{8 π x}{7} + \frac{8 π \cdot - 1}{7}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$y = \frac{8 π x}{7} + \frac{- 8 π}{7}$

Passaggio 2.3.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{8 π x}{7} - \frac{8 π}{7}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{8 π}{7} x - \frac{8 π}{7}$

Passaggio 3