Calcolo Esempi

$y = \sqrt[5]{3 x^{3} + 4 x}$ , $(2, 2)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 2$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{3 x^{3} + 4 x}$ come ${(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ e $g (x) = 3 x^{3} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{3} + 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 4 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 4 x]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{3} + 4 x$ .

$\frac{1}{5} {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 4 x]$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 4 x]$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 4 x]$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{5} {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 4 x]$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{1}{5} {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 4 x]$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$\frac{1}{5} {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 4 x]$

Passaggio 1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{5} {(3 x^{3} + 4 x)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 4 x]$

Passaggio 1.7.2

$\frac{1}{5}$ e ${(3 x^{3} + 4 x)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{{(3 x^{3} + 4 x)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 4 x]$

Passaggio 1.7.3

Sposta ${(3 x^{3} + 4 x)}^{- \frac{4}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5 {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 4 x]$

Passaggio 1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} + 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{1}{5 {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 1.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{5 {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{4}{5}}} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 1.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{5 {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{4}{5}}} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 1.11

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{1}{5 {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{4}{5}}} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 1.12

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{4}{5}}} (9 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5 {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{4}{5}}} (9 x^{2} + 4 \cdot 1)$

Passaggio 1.14

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{1}{5 {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{4}{5}}} (9 x^{2} + 4)$

Passaggio 1.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{5 {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{4}{5}}} (9 x^{2} + 4)$ .

$(9 x^{2} + 4) \frac{1}{5 {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.15.2

Moltiplica $9 x^{2} + 4$ per $\frac{1}{5 {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{9 x^{2} + 4}{5 {(3 x^{3} + 4 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.16

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$\frac{9 {(2)}^{2} + 4}{5 {(3 {(2)}^{3} + 4 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{9 \cdot 4 + 4}{5 {(3 \cdot 2^{3} + 4 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.1.2

Moltiplica $9$ per $4$ .

$\frac{36 + 4}{5 {(3 \cdot 2^{3} + 4 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.1.3

Somma $36$ e $4$ .

$\frac{40}{5 {(3 \cdot 2^{3} + 4 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{40}{5 {(3 \cdot 8 + 4 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.2.1.2

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{40}{5 {(24 + 4 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.2.1.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{40}{5 {(24 + 8)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.2.2

Somma $24$ e $8$ .

$\frac{40}{5 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.2.3

Riscrivi $32$ come $2^{5}$ .

$\frac{40}{5 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{40}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Passaggio 1.17.2.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{40}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Passaggio 1.17.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{40}{5 \cdot 2^{4}}$

Passaggio 1.17.2.6

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{40}{5 \cdot 16}$

Passaggio 1.17.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.3.1

Moltiplica $5$ per $16$ .

$\frac{40}{80}$

Passaggio 1.17.3.2

Elimina il fattore comune di $40$ e $80$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.3.2.1

Scomponi $40$ da $40$ .

$\frac{40 (1)}{80}$

Passaggio 1.17.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.3.2.2.1

Scomponi $40$ da $80$ .

$\frac{40 \cdot 1}{40 \cdot 2}$

Passaggio 1.17.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{40 \cdot 1}{40 \cdot 2}$

Passaggio 1.17.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $\frac{1}{2}$ e un punto dato $(2, 2)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 2 = \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 2 = \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 2 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y - 2 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Passaggio 2.3.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$y - 2 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$y - 2 = \frac{x}{2} - 1$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{2} - 1 + 2$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $- 1$ e $2$ .

$y = \frac{x}{2} + 1$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{2} x + 1$

Passaggio 3