Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{2} \arctan (x)$ ; $(1, \frac{π}{8})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = \frac{π}{8}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 x^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2 + 2 x^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{2 x^{2} + 2}$

Passaggio 1.4.4

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2$ .

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Passaggio 1.4.4.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2 (x^{2}) + 2}$

Passaggio 1.4.4.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

Passaggio 1.4.4.3

Scomponi $2$ da $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1)}$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$\frac{1}{2 ({(1)}^{2} + 1)}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.6.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2 (1 + 1)}$

Passaggio 1.6.1.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{1}{4}$ e un punto dato $(1, \frac{π}{8})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{8}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{π}{8} = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{π}{8} = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{1}{4}$ e $x$ .

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.5

$\frac{1}{4}$ e $- 1$ .

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - \frac{π}{8} = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.2

Somma $\frac{π}{8}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{π}{8}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Per scrivere $- \frac{1}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{8}$

Passaggio 2.3.3.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{π}{8}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{2}{8} + \frac{π}{8}$

Passaggio 2.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 2 + π}{8}$

Passaggio 2.3.3.4

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2) + π}{8}$

Passaggio 2.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $π$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{8}$

Passaggio 2.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 (2 - π)}{8}$

Passaggio 2.3.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x}{4} - \frac{2 - π}{8}$

Passaggio 2.3.3.8

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{4} x - \frac{2 - π}{8}$

Passaggio 3