Calcolo Esempi

$6 x y + π \sin (y) = 62 π$ , $(3, \frac{7 π}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 3$ e $y = \frac{7 π}{2}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (6 x y + π \sin (y)) = \frac{d}{d x} (62 π)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x y + π \sin (y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x y$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Passaggio 1.2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Passaggio 1.2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Passaggio 1.2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π \sin (y)$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$6 (x y' + y) + π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 (x y' + y) + π \cos (y) y'$

Passaggio 1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x y') + 6 y + π \cos (y) y'$

Passaggio 1.2.4.2

Riordina i termini.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$

Passaggio 1.3

Poiché $62 π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $62 π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Riordina i fattori in $6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$ .

$6 x y' + π y' \cos (y) + 6 y = 0$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $6 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x y' + π y' \cos (y) = - 6 y$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $y'$ da $6 x y' + π y' \cos (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $y'$ da $6 x y'$ .

$y' (6 x) + π y' \cos (y) = - 6 y$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi $y'$ da $π y' \cos (y)$ .

$y' (6 x) + y' (π \cos (y)) = - 6 y$

Passaggio 1.5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (6 x) + y' (π \cos (y))$ .

$y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$

Passaggio 1.5.4

Dividi per $6 x + π \cos (y)$ ciascun termine in $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Dividi per $6 x + π \cos (y)$ ciascun termine in $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ .

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $6 x + π \cos (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Passaggio 1.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 3$ e $y = \frac{7 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$- \frac{6 y}{6 (3) + π \cos (y)}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $\frac{7 π}{2}$ nell'espressione.

$- \frac{6 (\frac{7 π}{2})}{6 (3) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Passaggio 1.7.3

$6$ e $\frac{7 π}{2}$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{6 (3) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $6$ per $3$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Passaggio 1.7.4.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cos (\frac{3 π}{2})}$

Passaggio 1.7.4.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cos (\frac{π}{2})}$

Passaggio 1.7.4.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cdot 0}$

Passaggio 1.7.4.5

Moltiplica $π$ per $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + 0}$

Passaggio 1.7.4.6

Somma $18$ e $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18}$

Passaggio 1.7.5

Moltiplica $6$ per $7$ .

$- \frac{\frac{42 π}{2}}{18}$

Passaggio 1.7.6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1

Riduci l'espressione $\frac{42 π}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1.1

Scomponi $2$ da $42 π$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2}}{18}$

Passaggio 1.7.6.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 (1)}}{18}$

Passaggio 1.7.6.1.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 \cdot 1}}{18}$

Passaggio 1.7.6.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\frac{21 π}{1}}{18}$

Passaggio 1.7.6.2

Dividi $21 π$ per $1$ .

$- \frac{21 π}{18}$

Passaggio 1.7.7

Elimina il fattore comune di $21$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.7.1

Scomponi $3$ da $21 π$ .

$- \frac{3 (7 π)}{18}$

Passaggio 1.7.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.7.2.1

Scomponi $3$ da $18$ .

$- \frac{3 (7 π)}{3 (6)}$

Passaggio 1.7.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 (7 π)}{3 \cdot 6}$

Passaggio 1.7.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{7 π}{6}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{7 π}{6}$ e un punto dato $(3, \frac{7 π}{2})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{7 π}{2}) = - \frac{7 π}{6} \cdot (x - (3))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{7 π}{6} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{7 π}{6} \cdot (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{7 π}{2} = 0 + 0 - \frac{7 π}{6} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{7 π}{6} x - \frac{7 π}{6} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.2.2

$x$ e $\frac{7 π}{6}$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} - \frac{7 π}{6} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{7 π}{6}$ nel numeratore.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{6} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.2.3.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{3 (2)} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.2.3.3

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.2.3.4

Elimina il fattore comune.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.2.3.5

Riscrivi l'espressione.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{2} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.2.4

$\frac{- 7 π}{2}$ e $- 1$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π \cdot - 1}{2}$

Passaggio 2.3.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{7 π}{2}$

Passaggio 2.3.1.3

Sposta $7$ alla sinistra di $x$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{7 x π}{6} + \frac{7 π}{2}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $\frac{7 π}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{7 π}{2} + \frac{7 π}{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 7 x π}{6} + \frac{7 π + 7 π}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

Somma $7 π$ e $7 π$ .

$y = \frac{- 7 x π}{6} + \frac{14 π}{2}$

Passaggio 2.3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{14 π}{2}$

Passaggio 2.3.2.4.2

Elimina il fattore comune di $14$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $14 π$ .

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{2 (7 π)}{2}$

Passaggio 2.3.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{2 (7 π)}{2 (1)}$

Passaggio 2.3.2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{2 (7 π)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{7 π}{1}$

Passaggio 2.3.2.4.2.2.4

Dividi $7 π$ per $1$ .

$y = - \frac{7 x π}{6} + 7 π$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Sposta $x$ .

$y = - \frac{7 π x}{6} + 7 π$

Passaggio 2.3.3.2

Riordina i termini.

$y = - (\frac{7 π}{6} x) + 7 π$

Passaggio 2.3.3.3

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{7 π}{6} x + 7 π$

Passaggio 3