Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{7 - 4 x}{5 + x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 7 - 4 x$ e $g (x) = 5 + x$ .

$\frac{(5 + x) \frac{d}{d x} [7 - 4 x] - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{(5 + x) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x]) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(5 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{(5 + x) \frac{d}{d x} [- 4 x] - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 + x) (- 4 \frac{d}{d x} [x]) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(5 + x) (- 4 \cdot 1) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.2.6.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$\frac{(5 + x) \cdot - 4 - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $5 + x$ .

$\frac{- 4 \cdot (5 + x) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 4 (5 + x) - (7 - 4 x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x])}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{- 4 (5 + x) - (7 - 4 x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 4 (5 + x) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{- 4 (5 + x) - (7 - 4 x) \cdot 1}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 4 (5 + x) - (7 - 4 x)}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 \cdot 5 - 4 x - (7 - 4 x)}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 \cdot 5 - 4 x - 1 \cdot 7 - (- 4 x)}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.3.1.1

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$\frac{- 20 - 4 x - 1 \cdot 7 - (- 4 x)}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{- 20 - 4 x - 7 - (- 4 x)}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$\frac{- 20 - 4 x - 7 + 4 x}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Combina i termini opposti in $- 20 - 4 x - 7 + 4 x$ .

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Passaggio 1.1.3.3.2.1

Somma $- 4 x$ e $4 x$ .

$\frac{- 20 + 0 - 7}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2.2

Somma $- 20$ e $0$ .

$\frac{- 20 - 7}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.3

Sottrai $7$ da $- 20$ .

$\frac{- 27}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{27}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{27}{{(5 + x)}^{2}}$ .

$- \frac{27}{{(5 + x)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{27}{{(5 + x)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{27}{{(5 + x)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$27 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $27 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{27}{{(5 + x)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(5 + x)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Poni $5 + x$ uguale a $0$ .

$5 + x = 0$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{7 - 4 x}{5 + x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 5$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- 5$ a $x$ .

$\frac{7 - 4 \cdot - 5}{5 - 5}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{7 - 4 \cdot - 5}{5 - 5}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $5$ da $5$ .

$\frac{7 - 4 \cdot - 5}{0}$

Passaggio 4.1.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

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