Calcolo Esempi

$f (t) = \frac{t}{t^{2} + 14}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = t^{2} + 14$ .

$\frac{(t^{2} + 14) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 14]}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 14) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 14]}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Moltiplica $t^{2} + 14$ per $1$ .

$\frac{t^{2} + 14 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 14]}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} + 14$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [14]$ .

$\frac{t^{2} + 14 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [14])}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{t^{2} + 14 - t (2 t + \frac{d}{d t} [14])}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $14$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $14$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{t^{2} + 14 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $2 t$ e $0$ .

$\frac{t^{2} + 14 - t (2 t)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 14 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{t^{2} + 14 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{t^{2} + 14 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{t^{2} + 14 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{t^{2} + 14 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.1.7

Sottrai $2 t^{2}$ da $t^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Scomponi $- 1$ da $- t^{2}$ .

$\frac{- (t^{2}) + 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.2

Riscrivi $14$ come $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (t^{2}) - 1 (- 14)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.3

Scomponi $- 1$ da $- (t^{2}) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (t^{2} - 14)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.4

Riscrivi $- (t^{2} - 14)$ come $- 1 (t^{2} - 14)$ .

$\frac{- 1 (t^{2} - 14)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (t) = - \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (t)$ rispetto a $t$ è $- \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$ .

$- \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$t^{2} - 14 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Somma $14$ a entrambi i lati dell'equazione.

$t^{2} = 14$

Passaggio 2.3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$t = \pm \sqrt{14}$

Passaggio 2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$t = \sqrt{14}$

Passaggio 2.3.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$t = - \sqrt{14}$

Passaggio 2.3.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$t = \sqrt{14}, - \sqrt{14}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\frac{t}{t^{2} + 14}$ per ciascun valore di $t$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $t = \sqrt{14}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\sqrt{14}$ a $t$ .

$\frac{\sqrt{14}}{{(\sqrt{14})}^{2} + 14}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt{14}}^{2}$ come $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{14}$ come $14^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{14}}{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2} + 14}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{14}}{14^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 14}$

Passaggio 4.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}} + 14}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}} + 14}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{14}}{14^{1} + 14}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{14}}{14 + 14}$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $14$ e $14$ .

$\frac{\sqrt{14}}{28}$

Passaggio 4.2

Calcola per $t = - \sqrt{14}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- \sqrt{14}$ a $t$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{{(- \sqrt{14})}^{2} + 14}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{14}$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{14}}^{2} + 14}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{1 {\sqrt{14}}^{2} + 14}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica ${\sqrt{14}}^{2}$ per $1$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{2} + 14}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{14}}^{2}$ come $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{14}$ come $14^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2} + 14}$

Passaggio 4.2.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{14^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 14}$

Passaggio 4.2.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}} + 14}$

Passaggio 4.2.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}} + 14}$

Passaggio 4.2.2.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sqrt{14}}{14^{1} + 14}$

Passaggio 4.2.2.1.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{- \sqrt{14}}{14 + 14}$

Passaggio 4.2.2.1.5

Somma $14$ e $14$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{28}$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\sqrt{14}}{28}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\sqrt{14}, \frac{\sqrt{14}}{28}), (- \sqrt{14}, - \frac{\sqrt{14}}{28})$

Passaggio 5