Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x + 8 x^{- 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 8 x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8 x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [8 x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{- 1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$2 + 8 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 + 8 (- x^{- 2})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$2 - 8 x^{- 2}$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 8 x^{- 2} + 2$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 8 x^{- 2} + 2$ .

$- 8 x^{- 2} + 2$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 8 x^{- 2} + 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 8 x^{- 2} + 2 = 0$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$

Passaggio 2.2.2

$- 8$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 8}{x^{2}} + 2 = 0$

Passaggio 2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{x^{2}} + 2 = 0$

Passaggio 2.3

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{8}{x^{2}} = - 2$

Passaggio 2.4

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{2}, 1$

Passaggio 2.4.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 2.5

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $- \frac{8}{x^{2}} = - 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{8}{x^{2}} = - 2$ per $x^{2}$ .

$- \frac{8}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{8}{x^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 8}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 8}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Passaggio 2.5.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 8 = - 2 x^{2}$

Passaggio 2.6

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 x^{2} = - 8$ .

$- 2 x^{2} = - 8$

Passaggio 2.6.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 8$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Passaggio 2.6.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 2}$

Passaggio 2.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.3.1

Dividi $- 8$ per $- 2$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 2.6.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 2.6.4

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.6.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 2.6.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 2.6.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 2.6.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la base in $x^{- 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x = 0$

Passaggio 4

Risolvi $2 x + 8 x^{- 1}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$2 (2) + 8 {(2)}^{- 1}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 + 8 {(2)}^{- 1}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 + 8 (\frac{1}{2})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$4 + 2 (4) \frac{1}{2}$

Passaggio 4.1.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$4 + 2 \cdot 4 \frac{1}{2}$

Passaggio 4.1.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$4 + 4$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $4$ e $4$ .

$8$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$2 (- 2) + 8 {(- 2)}^{- 1}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4 + 8 {(- 2)}^{- 1}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 + 8 (\frac{1}{- 2})$

Passaggio 4.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$- 4 + 2 (4) \frac{1}{- 2}$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$- 4 + 2 \cdot 4 \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$- 4 + 2 \cdot 4 \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$- 4 + 4 (\frac{1}{- 1})$

Passaggio 4.2.2.1.4

$4$ e $\frac{1}{- 1}$ .

$- 4 + \frac{4}{- 1}$

Passaggio 4.2.2.1.5

Dividi $4$ per $- 1$ .

$- 4 - 4$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $4$ da $- 4$ .

$- 8$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$2 (0) + 8 {(0)}^{- 1}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 + 8 {(0)}^{- 1}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 8 (\frac{1}{0})$

Passaggio 4.3.2.1.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$0 + 8 (\frac{1}{0})$

Passaggio 4.3.2.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(2, 8), (- 2, - 8)$

Passaggio 5