Calcolo Esempi

$\frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}} d x$

Passaggio 4

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Passaggio 5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) x^{3 \cdot - 1} d x$

Passaggio 5.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) x^{- 3} d x$

Passaggio 6

Espandi $(3 x^{2} - 2 x + 3) x^{- 3}$ .

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (3 x^{2} - 2 x) x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 3 x^{2} x^{- 3} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Passaggio 6.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 3 x^{2 - 3} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Passaggio 6.4

Sottrai $3$ da $2$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Passaggio 6.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 (x^{1} x^{- 3}) + 3 x^{- 3} d x$

Passaggio 6.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 3 x^{- 1} - 2 x^{1 - 3} + 3 x^{- 3} d x$

Passaggio 6.7

Sottrai $3$ da $1$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 x^{- 2} + 3 x^{- 3} d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 3 x^{- 1} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Passaggio 8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int x^{- 1} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Passaggio 10

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \int 3 x^{- 3} d x$

Passaggio 12

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int x^{- 3} d x$

Passaggio 13

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Semplifica.

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Passaggio 14.1.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Passaggio 14.1.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Passaggio 14.2

Semplifica.

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Passaggio 14.3

Semplifica.

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Passaggio 14.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - 3 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 14.3.2

$- 3$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} + \frac{- 3}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 14.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$