Calcolo Esempi

$\frac{1}{\sec^{2} (θ)}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{\sec^{2} (θ)}$ come funzione.

$f (θ) = \frac{1}{\sec^{2} (θ)}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (θ)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (θ) = \int \frac{1}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (θ)}$ come ${(\frac{1}{\sec (θ)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sec (θ)})}^{2} d θ$

Passaggio 4.3

Riscrivi $\sec (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}})}^{2} d θ$

Passaggio 4.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\int {(1 \cos (θ))}^{2} d θ$

Passaggio 4.5

Moltiplica $\cos (θ)$ per $1$ .

$\int \cos^{2} (θ) d θ$

Passaggio 5

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (θ)$ come $\frac{1 + \cos (2 θ)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 θ)}{2} d θ$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $θ$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 θ) d θ$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int d θ + \int \cos (2 θ) d θ)$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (θ + C + \int \cos (2 θ) d θ)$

Passaggio 9

Sia $u = 2 θ$ . Allora $d u = 2 d θ$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d θ$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u = 2 θ$ . Trova $\frac{d u}{d θ}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $2 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

Passaggio 9.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $2 θ$ rispetto a $θ$ è $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (θ + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 10

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (θ + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (θ + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{1}{2} (θ + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 θ$ .

$\frac{1}{2} (θ + \frac{1}{2} \sin (2 θ)) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 θ)$ .

$\frac{1}{2} (θ + \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Passaggio 15.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} θ + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 θ)}{2} + C$

Passaggio 15.3

$\frac{1}{2}$ e $θ$ .

$\frac{θ}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 θ)}{2} + C$

Passaggio 15.4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 θ)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (2 θ)}{2}$ .

$\frac{θ}{2} + \frac{\sin (2 θ)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 15.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{θ}{2} + \frac{\sin (2 θ)}{4} + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} θ + \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$

Passaggio 17

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (θ) = \frac{1}{\sec^{2} (θ)}$ .

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} θ + \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$