Calcolo Esempi

$16 x + \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

Passaggio 1

Scrivi $16 x + \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ come funzione.

$f (x) = 16 x + \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 16 x + \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 16 x d x + \int \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Passaggio 5

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , sposta $16$ fuori dall'integrale.

$16 \int x d x + \int \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Passaggio 7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$16 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 5 \int \frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Passaggio 8

Sia $u = 9 - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u = 9 - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Passaggio 8.1.2

Differenzia.

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Passaggio 8.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 8.1.2.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 8.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 8.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 8.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 8.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 8.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 9.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 5 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Passaggio 9.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 5 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 5 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Passaggio 11

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 5 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 5 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 13

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 13.1

Semplifica.

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Passaggio 13.1.1

$\frac{1}{2}$ e $- 5$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{- 5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 13.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 13.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 13.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 13.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 13.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 13.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 13.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 13.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 14

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Semplifica.

$8 x^{2} - \frac{5}{2} (2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 15.2

Semplifica.

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Passaggio 15.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$8 x^{2} - 2 (\frac{5}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 15.2.2

$- 2$ e $\frac{5}{2}$ .

$8 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 5}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 15.2.3

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$8 x^{2} + \frac{- 10}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 15.2.4

$\frac{- 10}{2}$ e $u^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x^{2} + \frac{- 10 u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Passaggio 15.2.5

Scomponi $2$ da $- 10 u^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Passaggio 15.2.6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 15.2.6.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$8 x^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + C$

Passaggio 15.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$8 x^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + C$

Passaggio 15.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$8 x^{2} + \frac{- 5 u^{\frac{1}{2}}}{1} + C$

Passaggio 15.2.6.4

Dividi $- 5 u^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$8 x^{2} - 5 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 16

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 - x^{2}$ .

$8 x^{2} - 5 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 17

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 16 x + \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $8 x^{2} - 5 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$