Calcolo Esempi

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} d x$

Passaggio 4

Sia $x = \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ è positivo.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t)}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riscrivi $\tan (t)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi $\sec (t)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5.2.5

Converti da $\frac{1}{\sin (t)}$ a $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Eleva $\csc (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \csc^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 7

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (t)$ come $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\int \csc^{1} (t) (1 + \tan^{2} (t)) d t$

Passaggio 8

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \csc^{1} (t) \cdot 1 + \csc^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 8.2

Semplifica ciascun termine.

$\int \csc (t) + \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \csc (t) d t + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 10

L'integrale di $\csc (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 11

Applica l'identità reciproca a $\csc (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 12

Scrivi $\tan (t)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} d t$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} d t$

Passaggio 13.2

Combina.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 {\sin (t)}^{2}}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Passaggio 13.3

Elimina il fattore comune di ${\sin (t)}^{2}$ e $\sin (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Scomponi $\sin (t)$ da $1 {\sin (t)}^{2}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Passaggio 13.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.2.1

Scomponi $\sin (t)$ da $\sin (t) {\cos (t)}^{2}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) ({\cos (t)}^{2})} d t$

Passaggio 13.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Passaggio 13.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 \sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} d t$

Passaggio 13.4

Moltiplica $\sin (t)$ per $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Passaggio 14

Moltiplica per $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos^{2} (t)} d t$

Passaggio 15

Scomponi $\cos (t)$ da $\cos^{2} (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos (t) \cos (t)} d t$

Passaggio 16

Frazioni separate.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} d t$

Passaggio 17

Converti da $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ a $\tan (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \frac{1}{\cos (t)} d t$

Passaggio 18

Converti da $\frac{1}{\cos (t)}$ a $\sec (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \sec (t) d t$

Passaggio 19

Poiché la derivata di $\sec (t)$ è $\tan (t) \sec (t)$ , l'integrale di $\tan (t) \sec (t)$ è $\sec (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \sec (t) + C$

Passaggio 20

Semplifica.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + \sec (t) + C$

Passaggio 21

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$

Passaggio 22

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$