Calcolo Esempi

$\sqrt{2 - x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\sqrt{2 - x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sqrt{2 - x^{2}} d x$

Passaggio 4

Sia $x = \sqrt{2} \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sqrt{2} \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{2} \cos (t)$ è positivo.

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la regola del prodotto a $\sqrt{2} \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica per $1$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.3

Scomponi ${\sqrt{2}}^{2}$ da $- ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.4

Scomponi ${\sqrt{2}}^{2}$ da ${\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{2^{1} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.6.5

Calcola l'esponente.

$\int \sqrt{2 \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

$\int \sqrt{2 \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.7

Riordina $2$ e $\cos^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 2} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$\int \cos (t) \sqrt{2} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Passaggio 5.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Passaggio 5.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Passaggio 5.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Passaggio 5.2.5

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) d t$

Passaggio 5.2.6

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) d t$

Passaggio 5.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{2}}^{1 + 1} d t$

Passaggio 5.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{2}}^{2} d t$

Passaggio 5.2.9

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \cos^{2} (t) {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Passaggio 5.2.9.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Passaggio 5.2.9.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{2}{2}} d t$

Passaggio 5.2.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{2}{2}} d t$

Passaggio 5.2.9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{1} d t$

Passaggio 5.2.9.5

Calcola l'esponente.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2 d t$

Passaggio 5.2.10

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos^{2} (t)$ .

$\int 2 \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 7

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$2 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 9.3

Moltiplica $\int 1 + \cos (2 t) d t$ per $1$ .

$\int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d t + \int \cos (2 t) d t$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$t + C + \int \cos (2 t) d t$

Passaggio 12

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 12.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 12.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 12.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 12.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 12.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 13

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Passaggio 14

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Passaggio 15

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Passaggio 16

Semplifica.

$t + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Passaggio 17

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Passaggio 17.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t) + C$

Passaggio 17.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Passaggio 18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Passaggio 18.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Passaggio 18.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Passaggio 18.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Passaggio 18.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Passaggio 18.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Passaggio 18.2.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Passaggio 18.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Passaggio 18.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Passaggio 18.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Passaggio 18.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Passaggio 18.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Passaggio 18.3

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})) + C$

Passaggio 18.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.1

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})) + C$

Passaggio 18.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})) + C$

Passaggio 18.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})) + C$

Passaggio 18.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})) + C$

Passaggio 18.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})) + C$

Passaggio 18.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})) + C$

Passaggio 18.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})) + C$

Passaggio 18.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})) + C$

Passaggio 18.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})) + C$

Passaggio 18.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}})) + C$

Passaggio 18.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})) + C$

Passaggio 18.5

Riordina i termini.

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x)) + C$

Passaggio 19

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x)) + C$