Calcolo Esempi

${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ come funzione.

$f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(1 + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ come $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ .

$\int (1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 4.2

Espandi $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 (1 + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 4.3.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Passaggio 4.3.1.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Passaggio 4.3.1.4.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Passaggio 4.3.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Passaggio 4.3.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.2

Somma $\frac{1}{x}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.4

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$x + C + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$x + C + 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 9

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 9.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 9.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 9.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- 2} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) - x^{- 1} + C$

Passaggio 11

Semplifica.

$x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$