Calcolo Esempi

$4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Passaggio 1

Scrivi $4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ come funzione.

$f (x) = 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 4 \sin^{3} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \sin^{3} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 5

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 5.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$4 \int u^{3} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $4 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ come $4 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ .

$4 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} u^{4} + C$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{4} u^{4} + C$

Passaggio 7.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 u^{4} + C$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $u^{4}$ per $1$ .

$u^{4} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\sin^{4} (x) + C$

Passaggio 9

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$F (x) =$ $\sin^{4} (x) + C$