Calcolo Esempi

$\cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$

Passaggio 1

Scrivi $\cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$ come funzione.

$f (x) = \cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \cos (π x) d x + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = π x$ . Allora $d u_{1} = π d x$ , quindi $\frac{1}{π} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = π x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{π} d u_{1} + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Passaggio 6

$\cos (u_{1})$ e $\frac{1}{π}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{π} d u_{1} + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{π}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{π}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{π} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

Passaggio 9

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (\frac{x}{6}) d x$

Passaggio 10

Sia $u_{2} = \frac{x}{6}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{6} d x$ , quindi $6 d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u_{2} = \frac{x}{6}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $1$ .

$\frac{1}{6}$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u_{2}$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (u_{2}) (1 \cdot 6) d u_{2}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (u_{2}) \cdot 6 d u_{2}$

Passaggio 11.3

Sposta $6$ alla sinistra di $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int 6 \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 12

Poiché $6$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 (6 \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 13

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 36 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 14

L'integrale di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 36 (- \cos (u_{2}) + C)$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica.

$\frac{1}{π} \sin (u_{1}) + 36 (- \cos (u_{2})) + C$

Passaggio 15.2

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$\frac{1}{π} \sin (u_{1}) - 36 \cos (u_{2}) + C$

Passaggio 16

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $π x$ .

$\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (u_{2}) + C$

Passaggio 16.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{x}{6}$ .

$\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (\frac{x}{6}) + C$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (\frac{1}{6} x) + C$

Passaggio 18

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (\frac{1}{6} x) + C$