Calcolo Esempi

$x {(4 x - 1)}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $x {(4 x - 1)}^{2}$ come funzione.

$f (x) = x {(4 x - 1)}^{2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x {(4 x - 1)}^{2} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 4 x - 1$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 4 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $4$ e $0$ .

$4$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) u^{2} \frac{1}{4} d u$

Passaggio 5

$\frac{1}{4}$ e $u^{2}$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) \frac{u^{2}}{4} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{u}{4}$ per $\frac{u^{2}}{4}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Passaggio 6.3

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Passaggio 6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{u^{1 + 2}}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Passaggio 6.5

Somma $1$ e $2$ .

$\int \frac{u^{3}}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Passaggio 6.6

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Passaggio 6.7

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{u^{2}}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{16} + \frac{u^{2}}{4 \cdot 4} d u$

Passaggio 6.8

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{16} + \frac{u^{2}}{16} d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{u^{3}}{16} d u + \int \frac{u^{2}}{16} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{16}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{16}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{16} \int u^{3} d u + \int \frac{u^{2}}{16} d u$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int \frac{u^{2}}{16} d u$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{16}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{16}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{1}{16} \int u^{2} d u$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{1}{16} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 12.2

Semplifica.

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Passaggio 12.2.1

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16 \cdot 4} u^{4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 12.2.2

Moltiplica $16$ per $4$ .

$\frac{1}{64} u^{4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{64} u^{4} + \frac{1}{16 \cdot 3} u^{3} + C$

Passaggio 12.2.4

Moltiplica $16$ per $3$ .

$\frac{1}{64} u^{4} + \frac{1}{48} u^{3} + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x - 1$ .

$\frac{1}{64} {(4 x - 1)}^{4} + \frac{1}{48} {(4 x - 1)}^{3} + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x {(4 x - 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{64} {(4 x - 1)}^{4} + \frac{1}{48} {(4 x - 1)}^{3} + C$