Calcolo Esempi

$x^{6} - 2 x^{3} + 1$

Passaggio 1

Imposta $x^{6} - 2 x^{3} + 1$ uguale a $0$ .

$x^{6} - 2 x^{3} + 1 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi $x^{6}$ come ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - 2 x^{3} + 1 = 0$

Passaggio 2.1.2

Sia $u = x^{3}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{3}$ con $u$ .

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Passaggio 2.1.3.3

Riscrivi il polinomio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Passaggio 2.1.3.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

${(x^{3} - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

${(x^{3} - 1^{3})}^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

${((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2} = 0$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

${((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}^{2} = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

${((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{2} = 0$

Passaggio 2.2.4

Applica la regola del prodotto a $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi ${(x - 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.5

Imposta ${(x^{2} + x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta ${(x^{2} + x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi ${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x^{2} + x + 1 = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 2.5.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x^{2} + x + 1 = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x^{2} + x + 1 = \pm 0$

Passaggio 2.5.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5.2.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.2.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$ vera.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3