Calcolo Esempi

$2 x^{2} + 3 x = 5$ , $(- 1, 5)$

Passaggio 1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 5$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[- 1, 5]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Verifica se $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 5$ è differenziabile.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 3 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 3.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x + 3 + 0$

Passaggio 3.1.1.4.2

Somma $4 x + 3$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x + 3$

Passaggio 3.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x + 3$ .

$4 x + 3$

Passaggio 3.2

Definisci se la derivata è continua su $[- 1, 5]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3.2.2

$f' (x)$ è continua su $[- 1, 5]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3.3

La funzione è differenziabile su $[- 1, 5]$ perché la derivata è continua su $[- 1, 5]$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 4

Affinché la lunghezza dell'arco sia garantita, la funzione e la sua derivata devono essere entrambe continue sull'intervallo chiuso $[- 1, 5]$ .

La funzione e la sua derivata sono continue sull'intervallo chiuso $[- 1, 5]$ .

Passaggio 5

Trova la derivata di $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 3 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 5.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 5.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 5.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 5.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x + 3 + 0$

Passaggio 5.4.2

Somma $4 x + 3$ e $0$ .

$4 x + 3$

Passaggio 6

Per calcolare la lunghezza dell'arco di una funzione, usa la formula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{- 1}^{5} \sqrt{1 + {(4 x + 3)}^{2}} d x$

Passaggio 7

Calcola l'integrale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Completa il quadrato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (8 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 \cdot 5$

Passaggio 7.1.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1

Moltiplica $8$ per $2$ .

$16 x^{2} + 2 (12 x) + 2 \cdot 5$

Passaggio 7.1.1.2.2

Moltiplica $12$ per $2$ .

$16 x^{2} + 24 x + 2 \cdot 5$

Passaggio 7.1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$16 x^{2} + 24 x + 10$

Passaggio 7.1.2

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 16$

$b = 24$

$c = 10$

Passaggio 7.1.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 7.1.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{24}{2 \cdot 16}$

Passaggio 7.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $24$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $24$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 16}$

Passaggio 7.1.4.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (16)}$

Passaggio 7.1.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 16}$

Passaggio 7.1.4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{12}{16}$

Passaggio 7.1.4.2.2

Elimina il fattore comune di $12$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.2.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$d = \frac{4 (3)}{16}$

Passaggio 7.1.4.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$d = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Passaggio 7.1.4.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Passaggio 7.1.4.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{3}{4}$

Passaggio 7.1.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 10 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 16}$

Passaggio 7.1.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.5.2.1.1

Eleva $24$ alla potenza di $2$ .

$e = 10 - \frac{576}{4 \cdot 16}$

Passaggio 7.1.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$e = 10 - \frac{576}{64}$

Passaggio 7.1.5.2.1.3

Dividi $576$ per $64$ .

$e = 10 - 1 \cdot 9$

Passaggio 7.1.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$e = 10 - 9$

Passaggio 7.1.5.2.2

Sottrai $9$ da $10$ .

$e = 1$

Passaggio 7.1.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $16 {(x + \frac{3}{4})}^{2} + 1$ .

$\int_{- 1}^{5} \sqrt{16 {(x + \frac{3}{4})}^{2} + 1} d x$

Passaggio 7.2

Sia $u = x + \frac{3}{4}$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sia $u = x + \frac{3}{4}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Differenzia $x + \frac{3}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x + \frac{3}{4}]$

Passaggio 7.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{3}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{4}]$

Passaggio 7.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{4}]$

Passaggio 7.2.1.4

Poiché $\frac{3}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 7.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 7.2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x + \frac{3}{4}$ .

$u_{lower} = - 1 + \frac{3}{4}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Passaggio 7.2.3.2

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}$

Passaggio 7.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{lower} = \frac{- 1 \cdot 4 + 3}{4}$

Passaggio 7.2.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$u_{lower} = \frac{- 4 + 3}{4}$

Passaggio 7.2.3.4.2

Somma $- 4$ e $3$ .

$u_{lower} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 7.2.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u_{lower} = - \frac{1}{4}$

Passaggio 7.2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x + \frac{3}{4}$ .

$u_{upper} = 5 + \frac{3}{4}$

Passaggio 7.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Passaggio 7.2.5.2

$5$ e $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}$

Passaggio 7.2.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{upper} = \frac{5 \cdot 4 + 3}{4}$

Passaggio 7.2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.4.1

Moltiplica $5$ per $4$ .

$u_{upper} = \frac{20 + 3}{4}$

Passaggio 7.2.5.4.2

Somma $20$ e $3$ .

$u_{upper} = \frac{23}{4}$

Passaggio 7.2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - \frac{1}{4}$

$u_{upper} = \frac{23}{4}$

Passaggio 7.2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- \frac{1}{4}}^{\frac{23}{4}} \sqrt{16 u^{2} + 1} d u$

Passaggio 7.3

Sia $u = \frac{1}{4} \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u = \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{4}$ è positivo.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{16 {(\frac{1}{4} \tan (t))}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Passaggio 7.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Semplifica $\sqrt{16 {(\frac{1}{4} \tan (t))}^{2} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1.1

$\frac{1}{4}$ e $\tan (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{16 {(\frac{\tan (t)}{4})}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Passaggio 7.4.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\tan (t)}{4}$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{16 \frac{\tan^{2} (t)}{4^{2}} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Passaggio 7.4.1.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{16 \frac{\tan^{2} (t)}{16} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Passaggio 7.4.1.1.4

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{16 \frac{\tan^{2} (t)}{16} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Passaggio 7.4.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Passaggio 7.4.1.2

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Passaggio 7.4.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Passaggio 7.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

$\sec (t)$ e $\frac{\sec^{2} (t)}{4}$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{4} d t$

Passaggio 7.4.2.2

Moltiplica $\sec (t)$ per $\sec^{2} (t)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.1

Moltiplica $\sec (t)$ per $\sec^{2} (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.1.1

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{4} d t$

Passaggio 7.4.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{4} d t$

Passaggio 7.4.2.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \frac{\sec^{3} (t)}{4} d t$

Passaggio 7.5

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 7.6

Applica la formula di riduzione.

$\frac{1}{4} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} + \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sec (t) d t)$

Passaggio 7.7

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543})$

Passaggio 7.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2})$

Passaggio 7.8.2

Per scrivere $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2})$

Passaggio 7.8.3

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2})$

Passaggio 7.8.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2}$

Passaggio 7.8.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2}$

Passaggio 7.8.6

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 7.8.7

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{8}$

Passaggio 7.9

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.1

Calcola $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ per $1.52734543$ e per $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2}) - \frac{\tan (- \frac{π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{8}$

Passaggio 7.9.2

Calcola $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ per $1.52734543$ e per $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2}) - \frac{\tan (- \frac{π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + (\ln (| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |)}{8}$

Passaggio 7.9.3

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |)}{8}$

Passaggio 7.10

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{\tan (\frac{7 π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel quarto quadrante.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- \tan (\frac{π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.3

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- 1 \cdot 1 \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.5

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- \sec (\frac{7 π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- \sec (\frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.7

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{4})$ è $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- \frac{2}{\sqrt{2}}}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.8

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - (- \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2})) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.9.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{\sqrt{2}}$ nel numeratore.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - (\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2})) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.9.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - (\frac{2 (- 1)}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2})) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.9.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2})) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.9.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- 1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - - \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.11

Moltiplica $- - \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.11.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} + 1 \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.11.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $1$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.12.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.12.1.1

Calcola $\tan (1.52734543)$ .

$\frac{2 (\frac{23 \sec (1.52734543)}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.12.1.2

Calcola $\sec (1.52734543)$ .

$\frac{2 (\frac{23 \cdot 23.02172886}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.12.2

Moltiplica $23$ per $23.02172886$ .

$\frac{2 (\frac{529.49976392}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.12.3

Dividi $529.49976392$ per $2$ .

$\frac{2 (264.74988196 + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.13

Somma $264.74988196$ e $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 265.45698874 + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.14

Moltiplica $2$ per $265.45698874$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.15

$\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)$ corrisponde approssimativamente a $46.02172886$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.16

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.16.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \sec (\frac{7 π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.3

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{4})$ è $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.4

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{7 π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel quarto quadrante.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} - \tan (\frac{π}{4}) |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.6

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 \cdot 1 |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.16.8.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - 1 |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.8.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.16.8.2.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} - 1 |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.8.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} - 1 |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.8.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} - 1 |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.8.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} - 1 |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.8.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} - 1 |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.8.2.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.16.8.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 1 |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.8.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 1 |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.8.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 1 |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.8.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.16.8.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 1 |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.8.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} - 1 |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.8.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} - 1 |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.8.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.16.8.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} - 1 |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.8.3.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \sqrt{2} - 1 |})}{8}$

Passaggio 7.11.16.9

$\sqrt{2} - 1$ corrisponde approssimativamente a $0.41421356$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{\sqrt{2} - 1})}{8}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{\sqrt{2} - 1})}{8}$

Forma decimale:

$66.95305809 \dots$

Passaggio 9