Calcolo Esempi

$y = 9 - x$ , $y = 3 x - 3$ , $x = 0$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = - x + 9$ e $g (x) = 3 x - 3$

Passaggio 2

Semplifica l'integrando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi ${(- x + 9)}^{2}$ come $(- x + 9) (- x + 9)$ .

$V = (- x + 9) (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Espandi $(- x + 9) (- x + 9)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$V = - x (- x + 9) + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$V = - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = 1 x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$V = x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.5

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$V = x^{2} - 9 x + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.1.7

Moltiplica $9$ per $9$ .

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.1.3.2

Sottrai $9 x$ da $- 9 x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi ${(3 x - 3)}^{2}$ come $(3 x - 3) (3 x - 3)$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - ((3 x - 3) (3 x - 3))$

Passaggio 2.1.5

Espandi $(3 x - 3) (3 x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x - 3) - 3 (3 x - 3))$

Passaggio 2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x - 3))$

Passaggio 2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 2.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 2.1.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.2.1

Sposta $x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 2.1.6.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 2.1.6.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 2.1.6.1.4

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 2.1.6.1.5

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 2.1.6.1.6

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x + 9)$

Passaggio 2.1.6.2

Sottrai $9 x$ da $- 9 x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 18 x + 9)$

Passaggio 2.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2}) - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

Passaggio 2.1.8

Semplifica.

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Passaggio 2.1.8.1

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

Passaggio 2.1.8.2

Moltiplica $- 18$ per $- 1$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 1 \cdot 9$

Passaggio 2.1.8.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$

Passaggio 2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Combina i termini opposti in $x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Somma $- 18 x$ e $18 x$ .

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} + 0 - 9$

Passaggio 2.2.1.2

Somma $x^{2} + 81 - 9 x^{2}$ e $0$ .

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} - 9$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $9 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$V = - 8 x^{2} + 81 - 9$

Passaggio 2.2.3

Sottrai $9$ da $81$ .

$V = - 8 x^{2} + 72$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{0}^{3} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Passaggio 4

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 8$ fuori dall'integrale.

$V = π (- 8 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (- 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Passaggio 6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $3$ e per $0$ .

$V = π (- 8 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

Passaggio 8.2

Calcola $72 x$ per $3$ e per $0$ .

$V = π (- 8 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$V = π (- 8 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di $27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (- 8 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.2.2.4

Dividi $9$ per $1$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (- 8 (9 - 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$V = π (- 8 (9 + 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.6

Somma $9$ e $0$ .

$V = π (- 8 \cdot 9 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.7

Moltiplica $- 8$ per $9$ .

$V = π (- 72 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.8

Moltiplica $72$ per $3$ .

$V = π (- 72 + 216 - 72 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.9

Moltiplica $- 72$ per $0$ .

$V = π (- 72 + 216 + 0)$

Passaggio 8.3.10

Somma $216$ e $0$ .

$V = π (- 72 + 216)$

Passaggio 8.3.11

Somma $- 72$ e $216$ .

$V = π \cdot 144$

Passaggio 8.3.12

Sposta $144$ alla sinistra di $π$ .

$V = 144 π$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = 144 π$

Forma decimale:

$V = 452.38934211 \dots$

Passaggio 10