Calcolo Esempi

$y = 6 - \frac{5}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = - \frac{5 x}{2} + 6$

Passaggio 2

Semplifica l'integrando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(- \frac{5 x}{2} + 6)}^{2}$ come $(- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$ .

$V = (- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$

Passaggio 2.2

Espandi $(- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2} + 6) + 6 (- \frac{5 x}{2} + 6)$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2}) - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2} + 6)$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2}) - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $- \frac{5 x}{2} (- \frac{5 x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = 1 (\frac{5 x}{2}) \cdot \frac{5 x}{2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.1.2

Moltiplica $\frac{5 x}{2}$ per $1$ .

$V = \frac{5 x}{2} \cdot \frac{5 x}{2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.1.3

Moltiplica $\frac{5 x}{2}$ per $\frac{5 x}{2}$ .

$V = \frac{5 x (5 x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.1.4

Moltiplica $5$ per $5$ .

$V = \frac{25 x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$V = \frac{25 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.1.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$V = \frac{25 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.1.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$V = \frac{25 x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.1.8

Somma $1$ e $1$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.1.9

Moltiplica $2$ per $2$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5 x}{2}$ nel numeratore.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.2.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot (2 (3)) + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot (2 \cdot 3) + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 5 x \cdot 3 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5 x}{2}$ nel numeratore.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 6 (\frac{- 5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.4.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 2 (3) (\frac{- 5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 2 \cdot (3 (\frac{- 5 x}{2})) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 3 (- 5 x) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x - 15 x + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $6$ per $6$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x - 15 x + 36$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $15 x$ da $- 15 x$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 30 x + 36$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{0}^{1} \frac{25 x^{2}}{4} d x + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{25}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{25}{4}$ fuori dall'integrale.

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Passaggio 6.2

$\frac{25}{4}$ e $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Passaggio 7

Poiché $- 30$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 30$ fuori dall'integrale.

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 36 x]_{0}^{1})$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $0$ .

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 36 x]_{0}^{1})$

Passaggio 11.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ e per $0$ .

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 x]_{0}^{1})$

Passaggio 11.3

Calcola $36 x$ per $1$ e per $0$ .

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.3.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - 0)}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} + 0)}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.5

Somma $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.6

$25$ e $\frac{1}{3}$ .

$V = π (\frac{\frac{25}{3}}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.7

Riscrivi $\frac{\frac{25}{3}}{4}$ come un prodotto.

$V = π (\frac{25}{3} \cdot \frac{1}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.8

Moltiplica $\frac{25}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{25}{3 \cdot 4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.9

Moltiplica $3$ per $4$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.11

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.12

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.12.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.12.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.12.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - 0) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.13

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} + 0) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.14

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.15

$- 30$ e $\frac{1}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 30}{2} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.16

Elimina il fattore comune di $- 30$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.16.1

Scomponi $2$ da $- 30$ .

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.16.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2 (1)} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 15}{1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.16.2.4

Dividi $- 15$ per $1$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 15 + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.17

Per scrivere $- 15$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 15 \cdot \frac{12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.18

$- 15$ e $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 15 \cdot 12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{25 - 15 \cdot 12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.20

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.20.1

Moltiplica $- 15$ per $12$ .

$V = π (\frac{25 - 180}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.20.2

Sottrai $180$ da $25$ .

$V = π (\frac{- 155}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.22

Moltiplica $36$ per $1$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 - 36 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.23

Moltiplica $- 36$ per $0$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 + 0)$

Passaggio 11.4.24

Somma $36$ e $0$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + 36)$

Passaggio 11.4.25

Per scrivere $36$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 \cdot \frac{12}{12})$

Passaggio 11.4.26

$36$ e $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + \frac{36 \cdot 12}{12})$

Passaggio 11.4.27

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{- 155 + 36 \cdot 12}{12})$

Passaggio 11.4.28

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.28.1

Moltiplica $36$ per $12$ .

$V = π (\frac{- 155 + 432}{12})$

Passaggio 11.4.28.2

Somma $- 155$ e $432$ .

$V = π (\frac{277}{12})$

Passaggio 11.4.29

$π$ e $\frac{277}{12}$ .

$V = \frac{π \cdot 277}{12}$

Passaggio 11.4.30

Sposta $277$ alla sinistra di $π$ .

$V = \frac{277 π}{12}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = \frac{277 π}{12}$

Forma decimale:

$V = 72.51843042 \dots$

Passaggio 13