Calcolo Esempi

$y = \sqrt{x - 1}$ , $y = 0$ , $x = 7$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{7} {(f (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = \sqrt{x - 1}$

Passaggio 2

Riscrivi ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ come $x - 1$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Elimina il fattore comune.

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$V = x - 1$

Passaggio 2.5

Semplifica.

$V = x - 1$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{1}^{7} x d x + \int_{1}^{7} - 1 d x)$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} - 1 d x)$

Passaggio 5

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} - 1 d x)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{7} + - x]_{1}^{7})$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{7}$ e $- x]_{1}^{7}$ .

$V = π \frac{x^{2}}{2} - x]_{1}^{7}$

Passaggio 7.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2} - x$ per $7$ e per $1$ .

$V = π ((\frac{7^{2}}{2} - 1 \cdot 7) - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Passaggio 7.2.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.2.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$V = π (\frac{49}{2} - 1 \cdot 7 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$V = π (\frac{49}{2} - 7 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Passaggio 7.2.2.3

Per scrivere $- 7$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{49}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Passaggio 7.2.2.4

$- 7$ e $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{49}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Passaggio 7.2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{49 - 7 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Passaggio 7.2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.6.1

Moltiplica $- 7$ per $2$ .

$V = π (\frac{49 - 14}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Passaggio 7.2.2.6.2

Sottrai $14$ da $49$ .

$V = π (\frac{35}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Passaggio 7.2.2.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$V = π (\frac{35}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1))$

Passaggio 7.2.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$V = π (\frac{35}{2} - (\frac{1}{2} - 1))$

Passaggio 7.2.2.9

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{35}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

Passaggio 7.2.2.10

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{35}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

Passaggio 7.2.2.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{35}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

Passaggio 7.2.2.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.12.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$V = π (\frac{35}{2} - \frac{1 - 2}{2})$

Passaggio 7.2.2.12.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$V = π (\frac{35}{2} - \frac{- 1}{2})$

Passaggio 7.2.2.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (\frac{35}{2} + \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.2.14

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = π (\frac{35}{2} + 1 (\frac{1}{2}))$

Passaggio 7.2.2.15

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$V = π (\frac{35}{2} + \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.2.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{35 + 1}{2})$

Passaggio 7.2.2.17

Somma $35$ e $1$ .

$V = π (\frac{36}{2})$

Passaggio 7.2.2.18

Elimina il fattore comune di $36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.18.1

Scomponi $2$ da $36$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 18}{2})$

Passaggio 7.2.2.18.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.18.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)})$

Passaggio 7.2.2.18.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1})$

Passaggio 7.2.2.18.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{18}{1})$

Passaggio 7.2.2.18.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$V = π \cdot 18$

Passaggio 7.2.2.19

Sposta $18$ alla sinistra di $π$ .

$V = 18 π$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = 18 π$

Forma decimale:

$V = 56.54866776 \dots$

Passaggio 9