Calcolo Esempi

$y = 6 - 6 x^{2}$ , $y = 0$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = - 6 x^{2} + 6$

Passaggio 2

Semplifica l'integrando.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(- 6 x^{2} + 6)}^{2}$ come $(- 6 x^{2} + 6) (- 6 x^{2} + 6)$ .

$V = (- 6 x^{2} + 6) (- 6 x^{2} + 6)$

Passaggio 2.2

Espandi $(- 6 x^{2} + 6) (- 6 x^{2} + 6)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$V = - 6 x^{2} (- 6 x^{2} + 6) + 6 (- 6 x^{2} + 6)$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$V = - 6 x^{2} (- 6 x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 6 + 6 (- 6 x^{2} + 6)$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$V = - 6 x^{2} (- 6 x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 6 + 6 (- 6 x^{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$V = - 6 \cdot (- 6 x^{2} x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 6 + 6 (- 6 x^{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$V = - 6 \cdot (- 6 (x^{2} x^{2})) - 6 x^{2} \cdot 6 + 6 (- 6 x^{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$V = - 6 \cdot (- 6 x^{2 + 2}) - 6 x^{2} \cdot 6 + 6 (- 6 x^{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$V = - 6 \cdot (- 6 x^{4}) - 6 x^{2} \cdot 6 + 6 (- 6 x^{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $- 6$ per $- 6$ .

$V = 36 x^{4} - 6 x^{2} \cdot 6 + 6 (- 6 x^{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $6$ per $- 6$ .

$V = 36 x^{4} - 36 x^{2} + 6 (- 6 x^{2}) + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- 6$ per $6$ .

$V = 36 x^{4} - 36 x^{2} - 36 x^{2} + 6 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $6$ per $6$ .

$V = 36 x^{4} - 36 x^{2} - 36 x^{2} + 36$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $36 x^{2}$ da $- 36 x^{2}$ .

$V = 36 x^{4} - 72 x^{2} + 36$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{- 1}^{1} 36 x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 72 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 36 d x)$

Passaggio 4

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , sposta $36$ fuori dall'integrale.

$V = π (36 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 72 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 36 d x)$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (36 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 72 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 36 d x)$

Passaggio 6

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 72 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 36 d x)$

Passaggio 7

Poiché $- 72$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 72$ fuori dall'integrale.

$V = π (36 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 72 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 36 d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 72 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 36 d x)$

Passaggio 9

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 72 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 36 d x)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$V = π (36 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 72 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 36 x]_{- 1}^{1})$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 11.1

Calcola $\frac{x^{5}}{5}$ per $1$ e per $- 1$ .

$V = π (36 ((\frac{1^{5}}{5}) - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 72 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 36 x]_{- 1}^{1})$

Passaggio 11.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 x]_{- 1}^{1})$

Passaggio 11.3

Calcola $36 x$ per $1$ e per $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4

Semplifica.

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Passaggio 11.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$V = π (36 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$V = π (36 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5}) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (36 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5})) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.5

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $1$ .

$V = π (36 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (36 (\frac{1 + 1}{5}) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.7

Somma $1$ e $1$ .

$V = π (36 (\frac{2}{5}) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.8

$36$ e $\frac{2}{5}$ .

$V = π (\frac{36 \cdot 2}{5} - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.9

Moltiplica $36$ per $2$ .

$V = π (\frac{72}{5} - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$V = π (\frac{72}{5} - 72 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.11

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$V = π (\frac{72}{5} - 72 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (\frac{72}{5} - 72 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.13

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = π (\frac{72}{5} - 72 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.14

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$V = π (\frac{72}{5} - 72 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{72}{5} - 72 \frac{1 + 1}{3} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.16

Somma $1$ e $1$ .

$V = π (\frac{72}{5} - 72 (\frac{2}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.17

$- 72$ e $\frac{2}{3}$ .

$V = π (\frac{72}{5} + \frac{- 72 \cdot 2}{3} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.18

Moltiplica $- 72$ per $2$ .

$V = π (\frac{72}{5} + \frac{- 144}{3} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.19

Elimina il fattore comune di $- 144$ e $3$ .

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Passaggio 11.4.19.1

Scomponi $3$ da $- 144$ .

$V = π (\frac{72}{5} + \frac{3 \cdot - 48}{3} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.19.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.19.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$V = π (\frac{72}{5} + \frac{3 \cdot - 48}{3 (1)} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.19.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{72}{5} + \frac{3 \cdot - 48}{3 \cdot 1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.19.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{72}{5} + \frac{- 48}{1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.19.2.4

Dividi $- 48$ per $1$ .

$V = π (\frac{72}{5} - 48 + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.20

Per scrivere $- 48$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{72}{5} - 48 \cdot \frac{5}{5} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.21

$- 48$ e $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{72}{5} + \frac{- 48 \cdot 5}{5} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.22

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{72 - 48 \cdot 5}{5} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.23

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.23.1

Moltiplica $- 48$ per $5$ .

$V = π (\frac{72 - 240}{5} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.23.2

Sottrai $240$ da $72$ .

$V = π (\frac{- 168}{5} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.24

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (- \frac{168}{5} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.25

Moltiplica $36$ per $1$ .

$V = π (- \frac{168}{5} + 36 - 36 \cdot - 1)$

Passaggio 11.4.26

Moltiplica $- 36$ per $- 1$ .

$V = π (- \frac{168}{5} + 36 + 36)$

Passaggio 11.4.27

Somma $36$ e $36$ .

$V = π (- \frac{168}{5} + 72)$

Passaggio 11.4.28

Per scrivere $72$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{168}{5} + 72 \cdot \frac{5}{5})$

Passaggio 11.4.29

$72$ e $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{168}{5} + \frac{72 \cdot 5}{5})$

Passaggio 11.4.30

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{- 168 + 72 \cdot 5}{5})$

Passaggio 11.4.31

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.4.31.1

Moltiplica $72$ per $5$ .

$V = π (\frac{- 168 + 360}{5})$

Passaggio 11.4.31.2

Somma $- 168$ e $360$ .

$V = π (\frac{192}{5})$

Passaggio 11.4.32

$π$ e $\frac{192}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 192}{5}$

Passaggio 11.4.33

Sposta $192$ alla sinistra di $π$ .

$V = \frac{192 π}{5}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = \frac{192 π}{5}$

Forma decimale:

$V = 120.63715789 \dots$

Passaggio 13