Calcolo Esempi

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} - 5^{t}}{t}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{t \to 0} 8^{t} - 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 8^{t} - lim_{t \to 0} 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{8^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 5^{t}}{lim_{t \to 0} t}$

Passaggio 1.2.3

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{8^{lim_{t \to 0} t} - 5^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

Passaggio 1.2.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{8^{0} - 5^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

Passaggio 1.2.4.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{8^{0} - 5^{0}}{lim_{t \to 0} t}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - 5^{0}}{lim_{t \to 0} t}$

Passaggio 1.2.5.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t}$

Passaggio 1.2.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} t}$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} - 5^{t}}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t} - 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t} - 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8^{t} - 5^{t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [8^{t}] + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [8^{t}] + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $8$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) + \frac{d}{d t} [- 5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d t} [- 5^{t}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 5^{t}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [5^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - \frac{d}{d t} [5^{t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - (5^{t} \ln (5))}{\frac{d}{d t} [t]}$

Passaggio 3.4.3

Rimuovi le parentesi.

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)}{\frac{d}{d t} [t]}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)}{1}$

Passaggio 4

Dividi $8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)$ per $1$ .

$lim_{t \to 0} 8^{t} \ln (8) - 5^{t} \ln (5)$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $0$ .

$lim_{t \to 0} 8^{t} \ln (8) - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

Passaggio 6

Sposta il termine $\ln (8)$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\ln (8) lim_{t \to 0} 8^{t} - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

Passaggio 7

Sposta il limite nell'esponente.

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 5^{t} \ln (5)$

Passaggio 8

Sposta il termine $\ln (5)$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - \ln (5) lim_{t \to 0} 5^{t}$

Passaggio 9

Sposta il limite nell'esponente.

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{t \to 0} t} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{t \to 0} t}$

Passaggio 10

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\ln (8) \cdot 8^{0} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{t \to 0} t}$

Passaggio 10.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\ln (8) \cdot 8^{0} - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\ln (8) \cdot 1 - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Passaggio 11.1.2

Moltiplica $\ln (8)$ per $1$ .

$\ln (8) - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Passaggio 11.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\ln (8) - \ln (5) \cdot 1$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (8) - \ln (5)$

Passaggio 11.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{8}{5})$