Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}^{5 x + 1}$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}^{5 x + 1}$ come $e^{\ln ({(\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}^{5 x + 1})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}^{5 x + 1})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}^{5 x + 1})$ spostando $5 x + 1$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{(5 x + 1) \ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}$

Passaggio 2

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to \infty} (5 x + 1) \ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}$

Passaggio 3

Riscrivi $(5 x + 1) \ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})$ come $\frac{\ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}{\frac{1}{5 x + 1}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}{\frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{5 x - 3}{5 x + 4})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\frac{5 x}{x} + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\frac{5 x}{x} + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.3.1.1.2

Dividi $5$ per $1$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{- 3}{x}}{\frac{5 x}{x} + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x}}{\frac{5 x}{x} + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x}}{\frac{5 x}{x} + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.3.2.2

Dividi $5$ per $1$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x}}{5 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.3.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.3.5

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{5 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.3.6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{5 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{5 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{5 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{5 - 3 \cdot 0}{5 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.5.3

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{5 - 3 \cdot 0}{5 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{5 - 3 \cdot 0}{5 + 4 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1.1

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{5 + 0}{5 + 4 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.7.1.2

Somma $5$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{5}{5 + 4 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.7.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.2.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{5}{5 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.7.2.2

Somma $5$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{5}{5})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.7.3

Dividi $5$ per $5$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.2.7.4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

Passaggio 4.1.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{5 x + 1}$ tende a $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 4.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}{\frac{1}{5 x + 1}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{5 x - 3}{5 x + 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{5 x - 3}{5 x + 4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 3}{5 x + 4}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 3}{5 x + 4}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{5 x - 3}{5 x + 4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{5 x - 3}{5 x + 4}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 3}{5 x + 4}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{5 x - 3}{5 x + 4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{5 x + 4}{5 x - 3} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 3}{5 x + 4}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $\frac{5 x + 4}{5 x - 3}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 3}{5 x + 4}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.5

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 5 x - 3$ e $g (x) = 5 x + 4$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{(5 x + 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3] - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{(5 x + 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{(5 x + 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{(5 x + 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.9

Moltiplica $5$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{(5 x + 4) (5 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.10

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{(5 x + 4) (5 + 0) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.11

Somma $5$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{(5 x + 4) \cdot 5 - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.12

Sposta $5$ alla sinistra di $5 x + 4$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{5 \cdot (5 x + 4) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.14

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.16

Moltiplica $5$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 3) (5 + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.17

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 3) (5 + 0)}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.18

Somma $5$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 3) \cdot 5}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.19

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{5 (5 x + 4) - 5 (5 x - 3)}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.20

Moltiplica $\frac{5 x + 4}{5 x - 3}$ per $\frac{5 (5 x + 4) - 5 (5 x - 3)}{{(5 x + 4)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(5 x + 4) (5 (5 x + 4) - 5 (5 x - 3))}{(5 x - 3) {(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.21

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.21.1

Scomponi $5 x + 4$ da $(5 x - 3) {(5 x + 4)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(5 x + 4) (5 (5 x + 4) - 5 (5 x - 3))}{(5 x + 4) (5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.21.2

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(5 x + 4) (5 (5 x + 4) - 5 (5 x - 3))}{(5 x + 4) (5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.21.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 (5 x + 4) - 5 (5 x - 3)}{(5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.22

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.22.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 \cdot 5 x + 5 \cdot 4 - 5 (5 x - 3)}{(5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.22.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 \cdot 5 x + 5 \cdot 4 - 5 \cdot 5 x - 5 \cdot - 3}{(5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.22.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.22.3.1

Combina i termini opposti in $5 (5 x) + 5 \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.22.3.1.1

Sottrai $5 (5 x)$ da $5 (5 x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 \cdot 4 + 0 - 5 \cdot - 3}{(5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.22.3.1.2

Somma $5 \cdot 4$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 \cdot 4 - 5 \cdot - 3}{(5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.22.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.22.3.2.1

Moltiplica $5$ per $4$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{20 - 5 \cdot - 3}{(5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.22.3.2.2

Moltiplica $- 5$ per $- 3$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{20 + 15}{(5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.22.3.3

Somma $20$ e $15$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.22.4

Riordina i termini.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

Passaggio 4.3.23

Riscrivi $\frac{1}{5 x + 1}$ come ${(5 x + 1)}^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{- 1}]}}$

Passaggio 4.3.24

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 5 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.24.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [5 x + 1]}}$

Passaggio 4.3.24.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 1]}}$

Passaggio 4.3.24.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- {(5 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 1]}}$

Passaggio 4.3.25

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- {(5 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

Passaggio 4.3.26

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- {(5 x + 1)}^{- 2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

Passaggio 4.3.27

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- {(5 x + 1)}^{- 2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}}$

Passaggio 4.3.28

Moltiplica $5$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- {(5 x + 1)}^{- 2} (5 + \frac{d}{d x} [1])}}$

Passaggio 4.3.29

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- {(5 x + 1)}^{- 2} (5 + 0)}}$

Passaggio 4.3.30

Somma $5$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- {(5 x + 1)}^{- 2} \cdot 5}}$

Passaggio 4.3.31

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- 5 {(5 x + 1)}^{- 2}}}$

Passaggio 4.3.32

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.32.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- 5 \frac{1}{{(5 x + 1)}^{2}}}}$

Passaggio 4.3.32.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.32.2.1

$- 5$ e $\frac{1}{{(5 x + 1)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{\frac{- 5}{{(5 x + 1)}^{2}}}}$

Passaggio 4.3.32.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- \frac{5}{{(5 x + 1)}^{2}}}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)} \cdot - 1 \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{5}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}$ per $\frac{{(5 x + 1)}^{2}}{5}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{35 {(5 x + 1)}^{2}}{(5 x + 4) (5 x - 3) \cdot 5}}$

Passaggio 4.6

Elimina il fattore comune di $35$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Scomponi $5$ da $35 {(5 x + 1)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{5 \cdot 7 {(5 x + 1)}^{2}}{(5 x + 4) (5 x - 3) \cdot 5}}$

Passaggio 4.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Scomponi $5$ da $(5 x + 4) (5 x - 3) \cdot 5$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{5 \cdot 7 {(5 x + 1)}^{2}}{5 \cdot (5 x + 4) (5 x - 3)}}$

Passaggio 4.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{5 \cdot 7 {(5 x + 1)}^{2}}{5 \cdot (5 x + 4) (5 x - 3)}}$

Passaggio 4.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{7 {(5 x + 1)}^{2}}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{7 {(5 x + 1)}^{2}}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}$

Passaggio 5.2

Sposta il termine $7$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Espandi $(5 x + 4) (5 x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{5 x (5 x - 3) + 4 (5 x - 3)}}$

Passaggio 6.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{5 x \cdot 5 x + 5 x \cdot - 3 + 4 (5 x - 3)}}$

Passaggio 6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{5 x \cdot 5 x + 5 x \cdot - 3 + 4 \cdot 5 x + 4 \cdot - 3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot - 3 + 4 \cdot 5 x + 4 \cdot - 3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot - 3 + 4 \cdot 5 x + 4 \cdot - 3}}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{25 x^{2} + 5 x \cdot - 3 + 4 \cdot 5 x + 4 \cdot - 3}}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{25 x^{2} - 15 x + 4 \cdot 5 x + 4 \cdot - 3}}$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $5$ per $4$ .

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{25 x^{2} - 15 x + 20 x + 4 \cdot - 3}}$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{25 x^{2} - 15 x + 20 x - 12}}$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 15 x$ e $20 x$ .

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{25 x^{2} + 5 x - 12}}$

Passaggio 7

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore.

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{5 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{\frac{25 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 12}{x^{2}}}}$

Passaggio 8

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica ciascun termine.

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{5 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Passaggio 8.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{- 7 \frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Passaggio 8.3

Sposta l'esponente $2$ da ${(\frac{5 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$e^{- 7 \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Passaggio 8.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{- 7 \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Passaggio 8.5

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- 7 \frac{{(5 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Passaggio 8.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Elimina il fattore comune.

$e^{- 7 \frac{{(5 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Passaggio 8.6.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{- 7 \frac{{(5 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Passaggio 8.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{- 7 \frac{{(5 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Passaggio 9

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$e^{- 7 \frac{{(5 \cdot 1 + 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Passaggio 10

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{- 7 \frac{{(5 \cdot 1 + 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

Passaggio 10.2

Calcola il limite di $25$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{- 7 \frac{{(5 \cdot 1 + 0)}^{2}}{25 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

Passaggio 10.3

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- 7 \frac{{(5 \cdot 1 + 0)}^{2}}{25 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

Passaggio 11

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$e^{- 7 \frac{{(5 \cdot 1 + 0)}^{2}}{25 + 5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

Passaggio 12

Sposta il termine $12$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- 7 \frac{{(5 \cdot 1 + 0)}^{2}}{25 + 5 \cdot 0 - 12 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 13

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$e^{- 7 \frac{{(5 \cdot 1 + 0)}^{2}}{25 + 5 \cdot 0 - 12 \cdot 0}}$

Passaggio 14

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$e^{- 7 \frac{{(5 + 0)}^{2}}{25 + 5 \cdot 0 - 12 \cdot 0}}$

Passaggio 14.1.2

Somma $5$ e $0$ .

$e^{- 7 \frac{5^{2}}{25 + 5 \cdot 0 - 12 \cdot 0}}$

Passaggio 14.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$e^{- 7 \frac{25}{25 + 5 \cdot 0 - 12 \cdot 0}}$

Passaggio 14.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$e^{- 7 \frac{25}{25 + 0 - 12 \cdot 0}}$

Passaggio 14.2.2

Moltiplica $- 12$ per $0$ .

$e^{- 7 \frac{25}{25 + 0 + 0}}$

Passaggio 14.2.3

Somma $25 + 0$ e $0$ .

$e^{- 7 \frac{25}{25 + 0}}$

Passaggio 14.2.4

Somma $25$ e $0$ .

$e^{- 7 (\frac{25}{25})}$

Passaggio 14.3

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Elimina il fattore comune.

$e^{- 7 (\frac{25}{25})}$

Passaggio 14.3.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{- 7 \cdot 1}$

Passaggio 14.4

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$e^{- 7}$

Passaggio 15

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{7}}$