Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{x + x^{2}}{1 - 2 x^{2}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x + x^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - 2 x^{2}}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Riordina $x$ e $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + x}{lim_{x \to \infty} 1 - 2 x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 - 2 x^{2}}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Riordina $1$ e $- 2 x^{2}$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 2 x^{2} + 1}$

Passaggio 1.3.2

Il limite che tende a infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è negativo è meno infinito.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 1.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{- \infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x + x^{2}}{1 - 2 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Passaggio 3.5

Riordina i termini.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Passaggio 3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Passaggio 3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.8.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 3.8.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 2 (2 x)}$

Passaggio 3.8.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 4 x}$

Passaggio 3.9

Sottrai $4 x$ da $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{- 4 x}$

Passaggio 4

Sposta il termine $\frac{1}{- 4}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x}$

Passaggio 5

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Passaggio 6

Calcola il limite.

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Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 6.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Passaggio 6.1.2

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1}$

Passaggio 6.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 6.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 6.5

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 8

Calcola il limite.

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Passaggio 8.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + 0}{1}$

Passaggio 8.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{2 + 0}{1}$

Passaggio 8.2.2

Dividi $2 + 0$ per $1$ .

$- \frac{1}{4} (2 + 0)$

Passaggio 8.2.3

Somma $2$ e $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 2$

Passaggio 8.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{4} \cdot 2$

Passaggio 8.2.4.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{- 1}{2 (2)} \cdot 2$

Passaggio 8.2.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Passaggio 8.2.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{2}$

Passaggio 8.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$