Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x}}{x^{3}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Passaggio 1.2

Poiché l'esponente $5 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{5 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Passaggio 1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x}}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.6

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 \cdot e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $5$ per $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x}}{3 x^{2}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Poiché la funzione $e^{5 x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $5$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $5$ rimosso.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché l'esponente $5 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{5 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x}}{3 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 e^{5 x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $5$ per $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $25$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 4.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{3 (2 x)}$

Passaggio 4.3.10

Moltiplica $2$ per $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{6 x}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 25 e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} 6 x}$

Passaggio 5.1.2

Poiché la funzione $e^{5 x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $25$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $25$ rimosso.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} 6 x}$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché l'esponente $5 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{5 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 6 x}$

Passaggio 5.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{6 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [25 e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [25 e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Passaggio 5.3.2

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25 e^{5 x}$ rispetto a $x$ è $25 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Passaggio 5.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Passaggio 5.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Passaggio 5.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Passaggio 5.3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $5$ per $25$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Passaggio 5.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Passaggio 5.3.7

Moltiplica $125$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Passaggio 5.3.8

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x}}{6 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x}}{6 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.10

Moltiplica $6$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x}}{6}$

Passaggio 6

Poiché la funzione $e^{5 x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $\frac{125}{6}$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Considera il limite con il multiplo costante $\frac{125}{6}$ rimosso.

$lim_{x \to \infty} e^{5 x}$

Passaggio 6.2

Poiché l'esponente $5 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{5 x}$ tende a $\infty$ .

$\infty$