Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (4 + x) - \ln (4)}{x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (4 + x) - \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (4 + x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 4 + x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 4 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.1.4

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\ln (4 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.1.5

Calcola il limite di $\ln (4)$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\ln (4 + lim_{x \to 0} x) - \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\ln (4 + 0) - \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{4 + 0}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $4 + 0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot 1 + 0}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Scomponi $4$ da $0$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot 1 + 4 \cdot 0}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Scomponi $4$ da $4 \cdot 1 + 4 \cdot 0$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot (1 + 0)}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3.2.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.4.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot (1 + 0)}{4 (1)})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot (1 + 0)}{4 \cdot 1})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3.2.4.4

Dividi $1 + 0$ per $1$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3.3

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3.4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (4 + x) - \ln (4)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (4 + x) - \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (4 + x) - \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (4 + x) - \ln (4)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (4 + x)] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (4 + x)] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (4 + x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5

Somma $0$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $\frac{1}{4 + x}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.4

Poiché $- \ln (4)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (4)$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Somma $\frac{1}{4 + x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.5.2

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 4}}{1}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 4} \cdot 1$

Passaggio 5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{x + 4}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 4}$

Passaggio 5.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x + 4}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 4}$

Passaggio 5.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4}$

Passaggio 5.5

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 4}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{0 + 4}$

Passaggio 7

Somma $0$ e $4$ .

$\frac{1}{4}$