Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{7 - e^{x}}{7 + 8 e^{x}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 - e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 - lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Passaggio 1.2.1.2

Calcola il limite di $7$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{7 - lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{7 - \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Una costante diversa da zero moltiplicata per infinito è uguale a infinito.

$\frac{7 + - \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Passaggio 1.2.3.2

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} 8 e^{x}}$

Passaggio 1.3.1.2

Calcola il limite di $7$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- \infty}{7 + lim_{x \to \infty} 8 e^{x}}$

Passaggio 1.3.2

Poiché la funzione $e^{x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $8$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $8$ rimosso.

$\frac{- \infty}{7 + lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 1.3.2.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{- \infty}{7 + \infty}$

Passaggio 1.3.3

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 1.3.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 - e^{x}}{7 + 8 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 - e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Passaggio 3.3

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - e^{x}}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Passaggio 3.5

Sottrai $e^{x}$ da $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 + 8 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]}$

Passaggio 3.7

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]}$

Passaggio 3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Passaggio 3.8.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 e^{x}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.8.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + 8 e^{x}}$

Passaggio 3.9

Somma $0$ e $8 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{8 e^{x}}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{8 e^{x}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{8}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $\frac{- 1}{8}$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- 1}{8}$

Passaggio 6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{8}$