Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} 7 x \sin (\frac{8}{x})$

Passaggio 1

Sposta il termine $7$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$7 lim_{x \to \infty} x \sin (\frac{8}{x})$

Passaggio 2

Riscrivi $x \sin (\frac{8}{x})$ come $\frac{\sin (\frac{8}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{8}{x})}{\frac{1}{x}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$7 \frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{8}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 3.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$7 \frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{8}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$7 \frac{\sin (8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.1.2.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$7 \frac{\sin (8 \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1.2.3.1

Moltiplica $8$ per $0$ .

$7 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$7 \frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.1.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$7 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$7 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{8}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{8}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{8}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{8}{x}$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{8}{x}$ .

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{8}{x}$ .

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8}{x}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \cdot 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \cdot 8 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \cdot 8 \cdot - 1 x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \cdot - 8 x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3.7

Semplifica.

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Passaggio 3.3.7.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \cdot - 8 \frac{1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3.7.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.7.2.1

$- 8$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \frac{- 8}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3.7.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \cdot - 1 \frac{8}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3.7.2.3

$\cos (\frac{8}{x})$ e $\frac{8}{x^{2}}$ .

$7 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{8}{x}) \cdot 8}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3.7.2.4

Sposta $8$ alla sinistra di $\cos (\frac{8}{x})$ .

$7 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3.8

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$7 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Passaggio 3.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$7 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}}{- x^{- 2}}$

Passaggio 3.3.10

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$7 lim_{x \to \infty} - \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}} \cdot - 1 x^{2}$

Passaggio 3.5

Combina i fattori.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$7 lim_{x \to \infty} 1 \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $\frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}$ per $1$ .

$7 lim_{x \to \infty} \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 3.5.3

$\frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}$ e $x^{2}$ .

$7 lim_{x \to \infty} \frac{8 \cos (\frac{8}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 3.6.1

Elimina il fattore comune.

$7 lim_{x \to \infty} \frac{8 \cos (\frac{8}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Dividi $8 \cos (\frac{8}{x})$ per $1$ .

$7 lim_{x \to \infty} 8 \cos (\frac{8}{x})$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$7 \cdot 8 lim_{x \to \infty} \cos (\frac{8}{x})$

Passaggio 4.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$7 \cdot 8 \cos (lim_{x \to \infty} \frac{8}{x})$

Passaggio 4.3

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$7 \cdot 8 \cos (8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

Passaggio 5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$7 \cdot 8 \cos (8 \cdot 0)$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1.1

Moltiplica $8$ per $0$ .

$7 \cdot 8 \cos (0)$

Passaggio 6.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$7 \cdot 8 \cdot 1$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$7 \cdot 8$

Passaggio 6.2

Moltiplica $7$ per $8$ .

$56$