Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt[3]{x}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x}}$

Passaggio 1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x}}$

Passaggio 1.3

Con $x$ che tende a $\infty$ per i radicali, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt[3]{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Passaggio 3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}}$

Passaggio 3.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.6

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Passaggio 3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}}$

Passaggio 3.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}}$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}$

Passaggio 3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.10

Semplifica.

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Passaggio 3.10.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5

Combina i fattori.

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Passaggio 5.1

$3$ e $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.2

$\frac{3}{x}$ e $x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{x}$

Passaggio 6

Riduci.

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Passaggio 6.1

Scomponi $x$ da $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x}$

Passaggio 6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x^{1}}$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x \cdot 1}$

Passaggio 6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{- \frac{1}{3}}}{1}$

Passaggio 6.2.5

Dividi $3 x^{- \frac{1}{3}}$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} 3 x^{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

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Passaggio 7.1

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 lim_{x \to \infty} x^{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica l'argomento del limite.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi $x^{\frac{1}{3}}$ come $\sqrt[3]{x}$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Passaggio 8

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ tende a $0$ .

$3 \cdot 0$

Passaggio 9

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0$