Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 11 x^{2} - 2 x + 8}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

Passaggio 1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Riordina $2$ e $- x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x + 2}$

Passaggio 1.3.2

Il limite che tende a infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è negativo è meno infinito.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 1.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{- \infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $11 x^{2} - 2 x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $11 x^{2}$ rispetto a $x$ è $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{11 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $11$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 3.5

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + 0}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 3.6

Somma $22 x - 2$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 3.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 3.9.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.9.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.9.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1}$

Passaggio 3.10

Sottrai $1$ da $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{- 1}$

Passaggio 4

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 4.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{22 x - 2}{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x - 2)$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x) - 1 \cdot - 2$

Passaggio 4.3

Moltiplica.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $22$ .

$lim_{x \to \infty} - 22 x - 1 \cdot - 2$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} - 22 x + 2$

Passaggio 5

Il limite che tende a infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è negativo è meno infinito.

$- \infty$