Calcolo Esempi

$lim_{x \to - \infty} x^{4} e^{x}$

Passaggio 1

Riscrivi $x^{4} e^{x}$ come $\frac{x^{4}}{e^{- x}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{4}}{e^{- x}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{4}}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Passaggio 2.1.2

Il limite che tende a meno infinito di un polinomio con grado pari il cui coefficiente direttivo è positivo è infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Passaggio 2.1.3

Poiché l'esponente $- x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{- x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{4}}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{- x} \cdot - 1}$

Passaggio 2.3.7

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Passaggio 2.3.8

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{- e^{- x}}$

Passaggio 2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{4 x^{3}}{e^{- x}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{- x}}$

Passaggio 3.2

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3}}{e^{- x}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$- 4 \frac{lim_{x \to - \infty} x^{3}}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Passaggio 4.1.2

Il limite a meno infinito di un polinomio con grado dispari il cui coefficiente direttivo è meno infinito.

$- 4 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Passaggio 4.1.3

Poiché l'esponente $- x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{- x}$ tende a $\infty$ .

$- 4 \frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$- 4 \frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3}}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{- x} \cdot - 1 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{- x} \cdot - 1}$

Passaggio 4.3.7

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Passaggio 4.3.8

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$- 4 lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2}}{- e^{- x}}$

Passaggio 5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{- e^{- x}}$

Passaggio 6

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$- 4 \cdot 3 \frac{lim_{x \to - \infty} x^{2}}{lim_{x \to - \infty} - e^{- x}}$

Passaggio 6.1.2

Il limite che tende a meno infinito di un polinomio con grado pari il cui coefficiente direttivo è positivo è infinito.

$- 4 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} - e^{- x}}$

Passaggio 6.1.3

Poiché la funzione $e^{- x}$ tende a $\infty$ , la costante negativa $- 1$ moltiplicata per la funzione tende a $- \infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Considera il limite con il multiplo costante $- 1$ rimosso.

$- 4 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Passaggio 6.1.3.2

Poiché l'esponente $- x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{- x}$ tende a $\infty$ .

$- 4 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 6.1.3.3

Poiché la funzione $e^{- x}$ tende a $\infty$ , la costante negativa $- 1$ moltiplicata per la funzione tende a $- \infty$ .

$- 4 \cdot 3 \frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 6.1.3.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$- 4 \cdot 3 \frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 6.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$- 4 \cdot 3 \frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 6.2

Poiché $\frac{\infty}{- \infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{- e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- e^{- x}]}$

Passaggio 6.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- e^{- x}]}$

Passaggio 6.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [- e^{- x}]}$

Passaggio 6.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- \frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Passaggio 6.3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 6.3.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 6.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 6.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.7

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \cdot 1}$

Passaggio 6.3.9

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$- 4 \cdot 3 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x}}$

Passaggio 7

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

Passaggio 8

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Passaggio 8.1.2

Il limite a meno infinito di un polinomio con grado dispari il cui coefficiente direttivo è meno infinito.

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Passaggio 8.1.3

Poiché l'esponente $- x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{- x}$ tende a $\infty$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 8.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 8.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Passaggio 8.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Passaggio 8.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 8.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 8.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 8.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 8.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \cdot 1}$

Passaggio 8.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

Passaggio 8.3.7

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Passaggio 8.3.8

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

Passaggio 8.4

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

Passaggio 8.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

Passaggio 9

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot - 1 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

Passaggio 10

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{e^{- x}}$ tende a $0$ .

$- 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot - 1 \cdot 0$

Passaggio 11

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot - 1 \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$- 12 \cdot 2 \cdot - 1 \cdot 0$

Passaggio 11.2

Moltiplica $- 12$ per $2$ .

$- 24 \cdot - 1 \cdot 0$

Passaggio 11.3

Moltiplica $- 24$ per $- 1$ .

$24 \cdot 0$

Passaggio 11.4

Moltiplica $24$ per $0$ .

$0$