Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (9 x)}{x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \arcsin (9 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Calcola il limite di $\arcsin (9 x)$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\arcsin (9 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$\frac{\arcsin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (9 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (9 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (9 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\arcsin (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(9 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Scomponi $9$ da $9 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(9 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.4

Applica la regola del prodotto a $9 (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - (9^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.5

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - (81 x^{2})}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $81$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.7

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.8

$9$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.10

Moltiplica $\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}}{1}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \cdot 1$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

Passaggio 5.2

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$9 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

Passaggio 5.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$9 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

Passaggio 5.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

Passaggio 5.5

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$9 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - 81 x^{2}}}$

Passaggio 5.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$9 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 81 x^{2}}}$

Passaggio 5.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} 81 x^{2}}}$

Passaggio 5.8

Sposta il termine $81$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Passaggio 5.9

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 \cdot 0^{2}}}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 \cdot 0}}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $- 81$ per $0$ .

$9 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Passaggio 7.1.3

Somma $1$ e $0$ .

$9 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 7.1.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$9 (\frac{1}{1})$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$9 (\frac{1}{1})$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$9 \cdot 1$

Passaggio 7.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9$