Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} x^{3} e^{- \frac{x}{5}}$

Passaggio 1

Riscrivi $x^{3} e^{- \frac{x}{5}}$ come $\frac{x^{3}}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 2.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 2.1.3

Poiché l'esponente $\frac{x}{5}$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{\frac{x}{5}}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{\frac{x}{5}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{\frac{x}{5}} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 2.3.5

$\frac{1}{5}$ e $e^{\frac{x}{5}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot 1}$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} 3 x^{2} \frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 2.5

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

$3$ e $\frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{3 \cdot 5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{15}{e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 2.5.3

$x^{2}$ e $\frac{15}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \cdot 15}{e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 2.6

Sposta $15$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{15 x^{2}}{e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 3

Sposta il termine $15$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$15 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 4.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$15 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 4.1.3

Poiché l'esponente $\frac{x}{5}$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{\frac{x}{5}}$ tende a $\infty$ .

$15 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$15 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{5}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$15 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{5}$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Passaggio 4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{5}$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{5}} \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3.5

$\frac{1}{5}$ e $e^{\frac{x}{5}}$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot 1}$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ per $1$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$15 lim_{x \to \infty} 2 x \frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 4.5

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

$2$ e $\frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$15 lim_{x \to \infty} x \frac{2 \cdot 5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$15 lim_{x \to \infty} x \frac{10}{e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 4.5.3

$x$ e $\frac{10}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$15 lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 10}{e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 5

Sposta il termine $10$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 6

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$15 \cdot 10 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 6.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$15 \cdot 10 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 6.1.3

Poiché l'esponente $\frac{x}{5}$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{\frac{x}{5}}$ tende a $\infty$ .

$15 \cdot 10 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 6.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$15 \cdot 10 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{5}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Passaggio 6.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Passaggio 6.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Passaggio 6.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{5}$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Passaggio 6.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Passaggio 6.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{5}$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Passaggio 6.3.4

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{5}} \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.5

$\frac{1}{5}$ e $e^{\frac{x}{5}}$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot 1}$

Passaggio 6.3.7

Moltiplica $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ per $1$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}}$

Passaggio 6.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} 1 \frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 6.5

Moltiplica $\frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$ per $1$ .

$15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 7

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$15 \cdot 10 \cdot 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{5}}}$

Passaggio 8

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{e^{\frac{x}{5}}}$ tende a $0$ .

$15 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0$

Passaggio 9

Moltiplica $15 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $15$ per $10$ .

$150 \cdot 5 \cdot 0$

Passaggio 9.2

Moltiplica $150$ per $5$ .

$750 \cdot 0$

Passaggio 9.3

Moltiplica $750$ per $0$ .

$0$