Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (x)}{x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \arcsin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Calcola il limite di $\arcsin (x)$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\arcsin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.2

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\arcsin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{1}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot 1$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Passaggio 5.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Passaggio 5.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x^{2}}}$

Passaggio 5.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Passaggio 5.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Passaggio 5.7

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 0^{2}}}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 0}}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Passaggio 7.1.3

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 7.1.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 7.2

Dividi $1$ per $1$ .

$1$