Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{\sin (1 - x^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} \sin (1 - x^{2})}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 1} 1 - x^{2})}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{2})}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{\sin (1 - lim_{x \to 1} x^{2})}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.1.4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{\sin (1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2})}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{\sin (1 - 1^{2})}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\sin (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\sin (1 - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{\sin (1 - x^{2})}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (1 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (1 - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\cos (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\cos (1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\cos (1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\cos (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\cos (1 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\cos (1 - x^{2}) (- (2 x))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\cos (1 - x^{2}) (- 2 x)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.9

Riordina i fattori di $\cos (1 - x^{2}) (- 2 x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x \cos (1 - x^{2})}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x \cos (1 - x^{2})}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x \cos (1 - x^{2})}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x \cos (1 - x^{2})}{1 + 0}$

Passaggio 3.13

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x \cos (1 - x^{2})}{1}$

Passaggio 4

Dividi $- 2 x \cos (1 - x^{2})$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} - 2 x \cos (1 - x^{2})$

Passaggio 5

Sposta il termine $- 2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to 1} x \cos (1 - x^{2})$

Passaggio 6

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$- 2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \cos (1 - x^{2})$

Passaggio 7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$- 2 lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} 1 - x^{2})$

Passaggio 8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$- 2 lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{2})$

Passaggio 9

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$- 2 lim_{x \to 1} x \cdot \cos (1 - lim_{x \to 1} x^{2})$

Passaggio 10

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$- 2 lim_{x \to 1} x \cdot \cos (1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2})$

Passaggio 11

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot \cos (1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2})$

Passaggio 11.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot \cos (1 - 1^{2})$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 \cdot \cos (1 - 1^{2})$

Passaggio 12.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 2 \cdot \cos (1 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 12.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 \cdot \cos (1 - 1)$

Passaggio 12.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$- 2 \cdot \cos (0)$

Passaggio 12.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 12.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$