Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Passaggio 1.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $2^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Passaggio 1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x}}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2 x}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $2^{x}$ e $2$ .

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Passaggio 4.1

Scomponi $2$ da $2^{x} \ln (2)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 x}$

Passaggio 4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 (x)}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 x}$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln (2)}{x}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x - 1} \ln (2)}{lim_{x \to \infty} x}$

Passaggio 5.1.2

Poiché la funzione $2^{x - 1}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $\ln (2)$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $\ln (2)$ rimosso.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x - 1}}{lim_{x \to \infty} x}$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché l'esponente $x - 1$ tende a $\infty$ , la quantità $2^{x - 1}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Passaggio 5.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln (2)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x - 1} \ln (2)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x - 1} \ln (2)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.2

Poiché $\ln (2)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2^{x - 1} \ln (2)$ rispetto a $x$ è $\ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x - 1}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = 2^{x}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (2^{x - 1} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.4

Eleva $\ln (2)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} (\ln^{1} (2) \ln (2)) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.5

Eleva $\ln (2)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} (\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} {\ln (2)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.11

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.12

Moltiplica $2^{x - 1}$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2)}{1}$

Passaggio 5.4

Dividi $2^{x - 1} \ln^{2} (2)$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2^{x - 1} \ln^{2} (2)$

Passaggio 6

Poiché la funzione $2^{x - 1}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $\ln^{2} (2)$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 6.1

Considera il limite con il multiplo costante $\ln^{2} (2)$ rimosso.

$lim_{x \to \infty} 2^{x - 1}$

Passaggio 6.2

Poiché l'esponente $x - 1$ tende a $\infty$ , la quantità $2^{x - 1}$ tende a $\infty$ .

$\infty$