Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x, 1, 1$

Passaggio 2.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ per $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Riordina i termini.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.1.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.2.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.4.1.2.2

Riscrivi $- 1$ come $1$ più $- 2$ .

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.1.2.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.1.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Passaggio 2.4.1.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.4.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.3

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 2.4.3.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 2.4.3.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.4.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.4.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.4.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.4.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- \frac{1}{2}, 1$ .

$- \frac{1}{2}, 1$

Passaggio 4

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 6

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 0.5, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.25$ nell'espressione.

$f' (- 0.25) = 2 (- 0.25) - \frac{1}{- 0.25} - 1$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 - \frac{1}{- 0.25} - 1$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $1$ per $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $- 0.5$ e $4$ .

$f' (- 0.25) = 3.5 - 1$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $1$ da $3.5$ .

$f' (- 0.25) = 2.5$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $2.5$ .

$2.5$

Passaggio 8

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(0, 1)$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Passaggio 9.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2) - 1$

Passaggio 9.2.1.3

Moltiplica $- (1 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 1 \cdot 2 - 1$

Passaggio 9.2.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 2 - 1$

Passaggio 9.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 - 1$

Passaggio 9.2.2.2

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 2$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = \frac{1}{2}$ la derivata è $- 2$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 1)$ .

Decrescente su $(0, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(0, 1), (1, \infty)$

Passaggio 11

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 2 (2) - \frac{1}{2} - 1$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (2) = 4 - \frac{1}{2} - 1$

Passaggio 11.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Scrivi $4$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} - \frac{1}{2} - 1$

Passaggio 11.2.2.2

Moltiplica $\frac{4}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

Passaggio 11.2.2.3

Moltiplica $\frac{4}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

Passaggio 11.2.2.4

Scrivi $- 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

Passaggio 11.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 11.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 11.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 11.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 11.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 2}{2}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Sottrai $1$ da $8$ .

$f' (2) = \frac{7 - 2}{2}$

Passaggio 11.2.5.2

Sottrai $2$ da $7$ .

$f' (2) = \frac{5}{2}$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Passaggio 11.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $\frac{5}{2}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 12

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(1, \infty)$

Decrescente su: $(0, 1)$

Passaggio 13