Calcolo Esempi

$f (t) = \frac{9}{25 - t^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{9}{25 - t^{2}}$ rispetto a $t$ è $9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{25 - t^{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{25 - t^{2}}]$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{25 - t^{2}}$ come ${(25 - t^{2})}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d t} [{(25 - t^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 25 - t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $25 - t^{2}$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [25 - t^{2}])$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$9 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}])$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $25 - t^{2}$ .

$9 (- {(25 - t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}])$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- 9 ({(25 - t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}])$

Passaggio 1.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $25 - t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$- 9 {(25 - t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $25$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $25$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 9 {(25 - t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Passaggio 1.1.3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$- 9 {(25 - t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Passaggio 1.1.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- 9 {(25 - t^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 1.1.3.6

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$9 {(25 - t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 1.1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 {(25 - t^{2})}^{- 2} (2 t)$

Passaggio 1.1.3.8

Moltiplica $2$ per $9$ .

$18 {(25 - t^{2})}^{- 2} t$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$18 \frac{1}{{(25 - t^{2})}^{2}} t$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1.1

$18$ e $\frac{1}{{(25 - t^{2})}^{2}}$ .

$\frac{18}{{(25 - t^{2})}^{2}} t$

Passaggio 1.1.5.1.2

$\frac{18}{{(25 - t^{2})}^{2}}$ e $t$ .

$\frac{18 t}{{(25 - t^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.5.2

Riordina i termini.

$f' (t) = \frac{18 t}{{(- t^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{18 t}{{(- t^{2} + 25)}^{2}}$ .

$\frac{18 t}{{(- t^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{18 t}{{(- t^{2} + 25)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{18 t}{{(- t^{2} + 25)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$18 t = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $18$ ciascun termine in $18 t = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $18$ ciascun termine in $18 t = 0$ .

$\frac{18 t}{18} = \frac{0}{18}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{18 t}{18} = \frac{0}{18}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{0}{18}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $18$ .

$t = 0$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{18 t}{{(- t^{2} + 25)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(- t^{2} + 25)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Scomponi $- 1$ da $- t^{2} + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Scomponi $- 1$ da $- t^{2}$ .

${(- (t^{2}) + 25)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.1.2

Riscrivi $25$ come $- 1 (- 25)$ .

${(- (t^{2}) - 1 \cdot - 25)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (t^{2}) - 1 (- 25)$ .

${(- (t^{2} - 25))}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

${(- (t^{2} - 5^{2}))}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = t$ e $b = 5$ .

${(- ((t + 5) (t - 5)))}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

${(- (t + 5) (t - 5))}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.4

Applica la regola del prodotto a $- (t + 5) (t - 5)$ .

${(- (t + 5))}^{2} {(t - 5)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $- (t + 5)$ .

${(- 1)}^{2} {(t + 5)}^{2} {(t - 5)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(t + 5)}^{2} = 0$

${(t - 5)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.3

Imposta ${(t + 5)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Imposta ${(t + 5)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(t + 5)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Risolvi ${(t + 5)}^{2} = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Poni $t + 5$ uguale a $0$ .

$t + 5 = 0$

Passaggio 4.2.3.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t = - 5$

Passaggio 4.2.4

Imposta ${(t - 5)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Imposta ${(t - 5)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(t - 5)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.4.2

Risolvi ${(t - 5)}^{2} = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

Poni $t - 5$ uguale a $0$ .

$t - 5 = 0$

Passaggio 4.2.4.2.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$t = 5$

Passaggio 4.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(- 1)}^{2} {(t + 5)}^{2} {(t - 5)}^{2} = 0$ vera.

$t = - 5, 5$

Passaggio 4.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$t = - 5, t = 5$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $t$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 5)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- 6$ nell'espressione.

$f' (- 6) = \frac{18 (- 6)}{{(- {(- 6)}^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $18$ per $- 6$ .

$f' (- 6) = \frac{- 108}{{(- {(- 6)}^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 6) = \frac{- 108}{{(- 1 \cdot 36 + 25)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$f' (- 6) = \frac{- 108}{{(- 36 + 25)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Somma $- 36$ e $25$ .

$f' (- 6) = \frac{- 108}{{(- 11)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.4

Eleva $- 11$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 6) = \frac{- 108}{121}$

Passaggio 6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 6) = - \frac{108}{121}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- \frac{108}{121}$ .

$- \frac{108}{121}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $t = - 6$ la derivata è $- \frac{108}{121}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 5)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 5)$ perché $f' (t) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 5, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- \frac{5}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{18 (- \frac{5}{2})}{{(- {(- \frac{5}{2})}^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $18$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 18 (\frac{5}{2})}{{(- {(- \frac{5}{2})}^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

$- 18$ e $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{{(- {(- \frac{5}{2})}^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 25)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 25)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 25)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 25)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{{({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + 25)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{{({(- 1)}^{3} (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + 25)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5^{2}}{2^{2}} + 25)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.4

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{25}{2^{2}} + 25)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{25}{4} + 25)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.6

Per scrivere $25$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{25}{4} + 25 \cdot \frac{4}{4})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.7

$25$ e $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 25 + 25 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.9.1

Moltiplica $25$ per $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 25 + 100}{4})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.9.2

Somma $- 25$ e $100$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{{(\frac{75}{4})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.10

Applica la regola del prodotto a $\frac{75}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{\frac{75^{2}}{4^{2}}}$

Passaggio 7.2.2.11

Eleva $75$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4^{2}}}$

Passaggio 7.2.2.12

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 18 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $- 18$ per $5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 90}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Passaggio 7.2.3.2

Dividi $- 90$ per $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 45}{\frac{5625}{16}}$

Passaggio 7.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (- \frac{5}{2}) = - 45 (\frac{16}{5625})$

Passaggio 7.2.5

Elimina il fattore comune di $45$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Scomponi $45$ da $- 45$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = 45 (- 1) (\frac{16}{5625})$

Passaggio 7.2.5.2

Scomponi $45$ da $5625$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = 45 \cdot (- 1 \frac{16}{45 \cdot 125})$

Passaggio 7.2.5.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{5}{2}) = 45 \cdot (- 1 \frac{16}{45 \cdot 125})$

Passaggio 7.2.5.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{16}{125}$

Passaggio 7.2.6

La risposta finale è $- \frac{16}{125}$ .

$- \frac{16}{125}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $t = - \frac{5}{2}$ la derivata è $- \frac{16}{125}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 5, 0)$ .

Decrescente su $(- 5, 0)$ perché $f' (t) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 5)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $t$ con $\frac{5}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{18 (\frac{5}{2})}{{(- {(\frac{5}{2})}^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

$18$ e $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{18 \cdot 5}{2}}{{(- {(\frac{5}{2})}^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{18 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5^{2}}{2^{2}} + 25)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{18 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{25}{2^{2}} + 25)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{18 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{25}{4} + 25)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4

Per scrivere $25$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{18 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{25}{4} + 25 \cdot \frac{4}{4})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.5

$25$ e $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{18 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{18 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 25 + 25 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.7.1

Moltiplica $25$ per $4$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{18 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 25 + 100}{4})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.7.2

Somma $- 25$ e $100$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{18 \cdot 5}{2}}{{(\frac{75}{4})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{75}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{18 \cdot 5}{2}}{\frac{75^{2}}{4^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.9

Eleva $75$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{18 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.10

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{18 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Moltiplica $18$ per $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{90}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Passaggio 8.2.3.2

Dividi $90$ per $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{45}{\frac{5625}{16}}$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (\frac{5}{2}) = 45 (\frac{16}{5625})$

Passaggio 8.2.5

Elimina il fattore comune di $45$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

Scomponi $45$ da $5625$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 45 (\frac{16}{45 (125)})$

Passaggio 8.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{5}{2}) = 45 (\frac{16}{45 \cdot 125})$

Passaggio 8.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{16}{125}$

Passaggio 8.2.6

La risposta finale è $\frac{16}{125}$ .

$\frac{16}{125}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $t = \frac{5}{2}$ la derivata è $\frac{16}{125}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, 5)$ .

Crescente su $(0, 5)$ perché $f' (t) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(5, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $t$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = \frac{18 (6)}{{(- {(6)}^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $18$ per $6$ .

$f' (6) = \frac{108}{{(- 6^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.2.2.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f' (6) = \frac{108}{{(- 1 \cdot 36 + 25)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$f' (6) = \frac{108}{{(- 36 + 25)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.3

Somma $- 36$ e $25$ .

$f' (6) = \frac{108}{{(- 11)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.4

Eleva $- 11$ alla potenza di $2$ .

$f' (6) = \frac{108}{121}$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $\frac{108}{121}$ .

$\frac{108}{121}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $t = 6$ la derivata è $\frac{108}{121}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(5, \infty)$ .

Crescente su $(5, \infty)$ perché $f' (t) > 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, 5), (5, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 5), (- 5, 0)$

Passaggio 11