Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9} - x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x^{2} + 9} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 9}$ come ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Passaggio 1.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.11

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.12

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.13

$2$ e $\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.14

$\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.15

Sposta ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.16

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.17

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Nessun punto rende la derivata $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ uguale a $0$ o indefinita. L'intervallo per verificare se $f (x) = \sqrt{x^{2} + 9} - x$ è crescente o decrescente è $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ per verificare se il risultato è positivo o negativo. Se è negativo, il grafico è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ . Se è positivo, il grafico è crescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Passaggio 5.2.1.2

Somma $1$ e $9$ .

$f' (1) = \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$ .

$\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$

Passaggio 6

Il risultato della sostituzione di $1$ in $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ è $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$ , che è negativo; quindi, il grafico è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

Decrescente su $(- \infty, \infty)$

Passaggio 7

Decrescente sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ significa che la funzione è sempre decrescente.

Sempre decrescente

Passaggio 8