Calcolo Esempi

$f (x) = 9 x + 7 x^{- 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x + 7 x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$9 + 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$9 + 7 (- x^{- 2})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$9 - 7 x^{- 2}$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 7 x^{- 2} + 9$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 7 x^{- 2} + 9$ .

$- 7 x^{- 2} + 9$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 7 x^{- 2} + 9 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 7 x^{- 2} + 9 = 0$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{2}} + 9 = 0$

Passaggio 2.2.2

$- 7$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 7}{x^{2}} + 9 = 0$

Passaggio 2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{7}{x^{2}} + 9 = 0$

Passaggio 2.3

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{7}{x^{2}} = - 9$

Passaggio 2.4

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{2}, 1$

Passaggio 2.4.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 2.5

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $- \frac{7}{x^{2}} = - 9$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{7}{x^{2}} = - 9$ per $x^{2}$ .

$- \frac{7}{x^{2}} x^{2} = - 9 x^{2}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{7}{x^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 7}{x^{2}} x^{2} = - 9 x^{2}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 7}{x^{2}} x^{2} = - 9 x^{2}$

Passaggio 2.5.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 7 = - 9 x^{2}$

Passaggio 2.6

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Riscrivi l'equazione come $- 9 x^{2} = - 7$ .

$- 9 x^{2} = - 7$

Passaggio 2.6.2

Dividi per $- 9$ ciascun termine in $- 9 x^{2} = - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Dividi per $- 9$ ciascun termine in $- 9 x^{2} = - 7$ .

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Passaggio 2.6.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{- 9}$

Passaggio 2.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x^{2} = \frac{7}{9}$

Passaggio 2.6.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{9}}$

Passaggio 2.6.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{7}{9}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{7}{9}}$ come $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}$

Passaggio 2.6.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3^{2}}}$

Passaggio 2.6.4.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{3}$

Passaggio 2.6.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{7}}{3}$

Passaggio 2.6.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{7}}{3}$

Passaggio 2.6.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{7}}{3}, - \frac{\sqrt{7}}{3}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{\sqrt{7}}{3}, - \frac{\sqrt{7}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{3}, - \frac{\sqrt{7}}{3}$

Passaggio 4

Imposta la base in $x^{- 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x = 0$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{7}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{7}}{3}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{7}}{3}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{7}}{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.8819171$ nell'espressione.

$f' (- 1.8819171) = - 7 {(- 1.8819171)}^{- 2} + 9$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.8819171) = - 7 \frac{1}{{(- 1.8819171)}^{2}} + 9$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1.8819171$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1.8819171) = - 7 (\frac{1}{3.54161197}) + 9$

Passaggio 6.2.1.3

Dividi $1$ per $3.54161197$ .

$f' (- 1.8819171) = - 7 \cdot 0.2823573 + 9$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 7$ per $0.2823573$ .

$f' (- 1.8819171) = - 1.97650111 + 9$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 1.97650111$ e $9$ .

$f' (- 1.8819171) = 7.02349888$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $7.02349888$ .

$7.02349888$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1.8819171$ la derivata è $7.02349888$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - \frac{\sqrt{7}}{3})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{\sqrt{7}}{3})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 0.8819171, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.44095855$ nell'espressione.

$f' (- 0.44095855) = - 7 {(- 0.44095855)}^{- 2} + 9$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.44095855) = - 7 \frac{1}{{(- 0.44095855)}^{2}} + 9$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 0.44095855$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 0.44095855) = - 7 (\frac{1}{0.19444444}) + 9$

Passaggio 7.2.1.3

Dividi $1$ per $0.19444444$ .

$f' (- 0.44095855) = - 7 \cdot 5.14285718 + 9$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 7$ per $5.14285718$ .

$f' (- 0.44095855) = - 36.0000003 + 9$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 36.0000003$ e $9$ .

$f' (- 0.44095855) = - 27.0000003$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 27.0000003$ .

$- 27.0000003$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 0.44095855$ la derivata è $- 27.0000003$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 0.8819171, 0)$ .

Decrescente su $(- \frac{\sqrt{7}}{3}, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{\sqrt{7}}{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.44095855$ nell'espressione.

$f' (0.44095855) = - 7 {(0.44095855)}^{- 2} + 9$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.44095855) = - 7 \frac{1}{{0.44095855}^{2}} + 9$

Passaggio 8.2.1.2

Eleva $0.44095855$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.44095855) = - 7 (\frac{1}{0.19444444}) + 9$

Passaggio 8.2.1.3

Dividi $1$ per $0.19444444$ .

$f' (0.44095855) = - 7 \cdot 5.14285718 + 9$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 7$ per $5.14285718$ .

$f' (0.44095855) = - 36.0000003 + 9$

Passaggio 8.2.2

Somma $- 36.0000003$ e $9$ .

$f' (0.44095855) = - 27.0000003$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 27.0000003$ .

$- 27.0000003$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 0.44095855$ la derivata è $- 27.0000003$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, \frac{\sqrt{7}}{3})$ .

Decrescente su $(0, \frac{\sqrt{7}}{3})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{\sqrt{7}}{3}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.8819171$ nell'espressione.

$f' (1.8819171) = - 7 {(1.8819171)}^{- 2} + 9$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1.8819171) = - 7 \frac{1}{{1.8819171}^{2}} + 9$

Passaggio 9.2.1.2

Eleva $1.8819171$ alla potenza di $2$ .

$f' (1.8819171) = - 7 (\frac{1}{3.54161197}) + 9$

Passaggio 9.2.1.3

Dividi $1$ per $3.54161197$ .

$f' (1.8819171) = - 7 \cdot 0.2823573 + 9$

Passaggio 9.2.1.4

Moltiplica $- 7$ per $0.2823573$ .

$f' (1.8819171) = - 1.97650111 + 9$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 1.97650111$ e $9$ .

$f' (1.8819171) = 7.02349888$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $7.02349888$ .

$7.02349888$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 1.8819171$ la derivata è $7.02349888$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(\frac{\sqrt{7}}{3}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{\sqrt{7}}{3}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - \frac{\sqrt{7}}{3}), (\frac{\sqrt{7}}{3}, \infty)$

Decrescente su: $(- \frac{\sqrt{7}}{3}, 0), (0, \frac{\sqrt{7}}{3})$

Passaggio 11