Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{(9 x^{2} + 4)}{9 x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 9 x^{2} + 4$ e $g (x) = 9 x^{2} - 4$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4] - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (18 x + \frac{d}{d x} [4]) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (18 x + 0) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $18 x$ e $0$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (18 x) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sposta $18$ alla sinistra di $9 x^{2} - 4$ .

$\frac{18 \cdot (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.10

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (18 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.11

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (18 x + 0)}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.12.1

Somma $18 x$ e $0$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (18 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.12.2

Moltiplica $18$ per $- 1$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - 18 (9 x^{2} + 4) x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(18 (9 x^{2}) + 18 \cdot - 4) x - 18 (9 x^{2} + 4) x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{18 (9 x^{2}) x + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2} + 4) x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{18 (9 x^{2}) x + 18 \cdot - 4 x + (- 18 (9 x^{2}) - 18 \cdot 4) x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{18 (9 x^{2}) x + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{18 (9 (x \cdot x^{2})) + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{18 (9 (x^{1} x^{2})) + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{18 (9 x^{1 + 2}) + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{18 (9 x^{3}) + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.2

Moltiplica $9$ per $18$ .

$\frac{162 x^{3} + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.3

Moltiplica $18$ per $- 4$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 18 (9 (x \cdot x^{2})) - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 18 (9 (x^{1} x^{2})) - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 18 (9 x^{1 + 2}) - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 18 (9 x^{3}) - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.5

Moltiplica $9$ per $- 18$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 162 x^{3} - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.6

Moltiplica $- 18$ per $4$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 162 x^{3} - 72 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Combina i termini opposti in $162 x^{3} - 72 x - 162 x^{3} - 72 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.2.1

Sottrai $162 x^{3}$ da $162 x^{3}$ .

$\frac{- 72 x + 0 - 72 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.2.2

Somma $- 72 x$ e $0$ .

$\frac{- 72 x - 72 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.3

Sottrai $72 x$ da $- 72 x$ .

$\frac{- 144 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{144 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.7.1

Riscrivi $9 x^{2}$ come ${(3 x)}^{2}$ .

$- \frac{144 x}{{({(3 x)}^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{144 x}{{({(3 x)}^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3 x$ e $b = 2$ .

$- \frac{144 x}{{((3 x + 2) (3 x - 2))}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7.4

Applica la regola del prodotto a $(3 x + 2) (3 x - 2)$ .

$f' (x) = - \frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$144 x = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $144$ ciascun termine in $144 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $144$ ciascun termine in $144 x = 0$ .

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{144}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $144$ .

$x = 0$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(3 x + 2)}^{2} = 0$

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2

Imposta ${(3 x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Imposta ${(3 x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(3 x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Risolvi ${(3 x + 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Poni $3 x + 2$ uguale a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Passaggio 4.2.2.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 2$

Passaggio 4.2.2.2.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{3}$

Passaggio 4.2.3

Imposta ${(3 x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Imposta ${(3 x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Risolvi ${(3 x - 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Poni $3 x - 2$ uguale a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Passaggio 4.2.3.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 2$

Passaggio 4.2.3.2.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 4.2.3.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 4.2.3.2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Passaggio 4.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2} = 0$ vera.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$

Passaggio 4.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - \frac{2}{3}, x = \frac{2}{3}$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.6666667$ nell'espressione.

$f' (- 1.6666667) = - \frac{144 (- 1.6666667)}{{(3 (- 1.6666667) + 2)}^{2} {(3 (- 1.6666667) - 2)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $144$ per $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{{(3 (- 1.6666667) + 2)}^{2} {(3 (- 1.6666667) - 2)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{{(- 5.0000001 + 2)}^{2} {(3 (- 1.6666667) - 2)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 5.0000001$ e $2$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{{(- 3.0000001)}^{2} {(3 (- 1.6666667) - 2)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{{(- 3.0000001)}^{2} {(- 5.0000001 - 2)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.4

Sottrai $2$ da $- 5.0000001$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{{(- 3.0000001)}^{2} {(- 7.0000001)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.5

Eleva $- 3.0000001$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{9.0000006 {(- 7.0000001)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.6

Eleva $- 7.0000001$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{9.0000006 \cdot 49.0000014}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $9.0000006$ per $49.0000014$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{441.000042}$

Passaggio 6.2.3.2

Dividi $- 240.0000048$ per $441.000042$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.54421764$

Passaggio 6.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 0.54421764$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.54421764$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $0.54421764$ .

$0.54421764$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1.6666667$ la derivata è $0.54421764$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{2}{3})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 0.6666667, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.\overline{3}$ nell'espressione.

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{144 (- 0.\overline{3})}{{(3 (- 0.\overline{3}) + 2)}^{2} {(3 (- 0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $144$ per $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{{(3 (- 0.\overline{3}) + 2)}^{2} {(3 (- 0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Moltiplica $3$ per $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{{(- 1.00000005 + 2)}^{2} {(3 (- 0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 1.00000005$ e $2$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{{0.\overline{9}}^{2} {(3 (- 0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{{0.\overline{9}}^{2} {(- 1.00000005 - 2)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.4

Sottrai $2$ da $- 1.00000005$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{{0.\overline{9}}^{2} {(- 3.00000005)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.5

Eleva $0.\overline{9}$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{0.9999999 {(- 3.00000005)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.6

Eleva $- 3.00000005$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{0.9999999 \cdot 9.0000003}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $0.9999999$ per $9.0000003$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{8.9999994}$

Passaggio 7.2.3.2

Dividi $- 48.0000024$ per $8.9999994$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 5.33333395$

Passaggio 7.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5.33333395$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 5.33333395$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $5.33333395$ .

$5.33333395$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 0.\overline{3}$ la derivata è $5.33333395$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 0.6666667, 0)$ .

Crescente su $(- \frac{2}{3}, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{2}{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.\overline{3}$ nell'espressione.

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{144 (0.\overline{3})}{{(3 (0.\overline{3}) + 2)}^{2} {(3 (0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica $144$ per $0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{{(3 (0.\overline{3}) + 2)}^{2} {(3 (0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Moltiplica $3$ per $0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{{(1.00000005 + 2)}^{2} {(3 (0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $1.00000005$ e $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{{3.00000005}^{2} {(3 (0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Moltiplica $3$ per $0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{{3.00000005}^{2} {(1.00000005 - 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4

Sottrai $2$ da $1.00000005$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{{3.00000005}^{2} {(- 0.\overline{9})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.5

Eleva $3.00000005$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{9.0000003 {(- 0.\overline{9})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.6

Eleva $- 0.\overline{9}$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{9.0000003 \cdot 0.9999999}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Moltiplica $9.0000003$ per $0.9999999$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{8.9999994}$

Passaggio 8.2.3.2

Dividi $48.0000024$ per $8.9999994$ .

$f' (0.\overline{3}) = - 1 \cdot 5.33333395$

Passaggio 8.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $5.33333395$ .

$f' (0.\overline{3}) = - 5.33333395$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 5.33333395$ .

$- 5.33333395$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 0.\overline{3}$ la derivata è $- 5.33333395$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, \frac{2}{3})$ .

Decrescente su $(0, \frac{2}{3})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{2}{3}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.6666667$ nell'espressione.

$f' (1.6666667) = - \frac{144 (1.6666667)}{{(3 (1.6666667) + 2)}^{2} {(3 (1.6666667) - 2)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $144$ per $1.6666667$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{{(3 (1.6666667) + 2)}^{2} {(3 (1.6666667) - 2)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Moltiplica $3$ per $1.6666667$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{{(5.0000001 + 2)}^{2} {(3 (1.6666667) - 2)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $5.0000001$ e $2$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{{7.0000001}^{2} {(3 (1.6666667) - 2)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.3

Moltiplica $3$ per $1.6666667$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{{7.0000001}^{2} {(5.0000001 - 2)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.4

Sottrai $2$ da $5.0000001$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{{7.0000001}^{2} \cdot {3.0000001}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.5

Eleva $7.0000001$ alla potenza di $2$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{49.0000014 \cdot {3.0000001}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.6

Eleva $3.0000001$ alla potenza di $2$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{49.0000014 \cdot 9.0000006}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Moltiplica $49.0000014$ per $9.0000006$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{441.000042}$

Passaggio 9.2.3.2

Dividi $240.0000048$ per $441.000042$ .

$f' (1.6666667) = - 1 \cdot 0.54421764$

Passaggio 9.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $0.54421764$ .

$f' (1.6666667) = - 0.54421764$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $- 0.54421764$ .

$- 0.54421764$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 1.6666667$ la derivata è $- 0.54421764$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(\frac{2}{3}, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{2}{3}, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - \frac{2}{3}), (- \frac{2}{3}, 0)$

Decrescente su: $(0, \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}, \infty)$

Passaggio 11