Calcolo Esempi

$f (x) = (x - 4) e^{- 3 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 4$ e $g (x) = e^{- 3 x}$ .

$(x - 4) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 3 x$ .

$(x - 4) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(x - 4) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 x$ .

$(x - 4) (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 4) e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 4) e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$(x - 4) e^{- 3 x} \cdot - 3 + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $(x - 4) e^{- 3 x}$ .

$- 3 \cdot ((x - 4) e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 1.1.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.1.3.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (1 + 0)$

Passaggio 1.1.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.7.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.7.2

Moltiplica $e^{- 3 x}$ per $1$ .

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(- 3 x - 3 \cdot - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Passaggio 1.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 x e^{- 3 x} - 3 \cdot - 4 e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Passaggio 1.1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + 12 e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Passaggio 1.1.4.3.2

Somma $12 e^{- 3 x}$ e $e^{- 3 x}$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

Passaggio 1.1.4.4

Riordina i termini.

$- 3 e^{- 3 x} x + 13 e^{- 3 x}$

Passaggio 1.1.4.5

Riordina i fattori in $- 3 e^{- 3 x} x + 13 e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $e^{- 3 x}$ da $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $e^{- 3 x}$ da $- 3 x e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} (- 3 x) + 13 e^{- 3 x} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $e^{- 3 x}$ da $13 e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 13 = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $e^{- 3 x}$ da $e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 13$ .

$e^{- 3 x} (- 3 x + 13) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

$- 3 x + 13 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $e^{- 3 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $e^{- 3 x}$ uguale a $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $e^{- 3 x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- 3 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.5

Imposta $- 3 x + 13$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $- 3 x + 13$ uguale a $0$ .

$- 3 x + 13 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $- 3 x + 13 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $13$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x = - 13$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x = - 13$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x = - 13$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 13}{- 3}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 13}{- 3}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 13}{- 3}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{13}{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{- 3 x} (- 3 x + 13) = 0$ vera.

$x = \frac{13}{3}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{13}{3}$ .

$\frac{13}{3}$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = (x - 4) e^{- 3 x}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, \frac{13}{3}) \cup (\frac{13}{3}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{13}{3}) \cup (\frac{13}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{13}{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{10}{3}$ nell'espressione.

$f' (\frac{10}{3}) = - 3 (\frac{10}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 3 (- 1) (\frac{10}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{10}{3}) = 3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3})) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Passaggio 5.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{10}{3}) = - 1 \cdot 10 \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Passaggio 5.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{3 (- 1) (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Passaggio 5.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3}))} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Passaggio 5.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 1 \cdot 10} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 10} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Passaggio 5.2.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot \frac{1}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Passaggio 5.2.1.6

$- 10$ e $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{- 10}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Passaggio 5.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

Passaggio 5.2.1.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.8.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{3 (- 1) (\frac{10}{3})}$

Passaggio 5.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3}))}$

Passaggio 5.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 1 \cdot 10}$

Passaggio 5.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 10}$

Passaggio 5.2.1.10

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 (\frac{1}{e^{10}})$

Passaggio 5.2.1.11

$13$ e $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + \frac{13}{e^{10}}$

Passaggio 5.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{- 10 + 13}{e^{10}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 10$ e $13$ .

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{3}{e^{10}}$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $\frac{3}{e^{10}}$ .

$\frac{3}{e^{10}}$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = \frac{10}{3}$ la derivata è $\frac{3}{e^{10}}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, \frac{13}{3})$ .

Crescente su $(- \infty, \frac{13}{3})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{13}{3}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{16}{3}$ nell'espressione.

$f' (\frac{16}{3}) = - 3 (\frac{16}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f' (\frac{16}{3}) = 3 (- 1) (\frac{16}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{16}{3}) = 3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3})) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Passaggio 6.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{16}{3}) = - 1 \cdot 16 \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Passaggio 6.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{3 (- 1) (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Passaggio 6.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3}))} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Passaggio 6.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 1 \cdot 16} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 16} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Passaggio 6.2.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot \frac{1}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Passaggio 6.2.1.6

$- 16$ e $\frac{1}{e^{16}}$ .

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 16}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Passaggio 6.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

Passaggio 6.2.1.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.8.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{3 (- 1) (\frac{16}{3})}$

Passaggio 6.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3}))}$

Passaggio 6.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 1 \cdot 16}$

Passaggio 6.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 16}$

Passaggio 6.2.1.10

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 (\frac{1}{e^{16}})$

Passaggio 6.2.1.11

$13$ e $\frac{1}{e^{16}}$ .

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + \frac{13}{e^{16}}$

Passaggio 6.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 16 + 13}{e^{16}}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Somma $- 16$ e $13$ .

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 3}{e^{16}}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{3}{e^{16}}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- \frac{3}{e^{16}}$ .

$- \frac{3}{e^{16}}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = \frac{16}{3}$ la derivata è $- \frac{3}{e^{16}}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(\frac{13}{3}, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{13}{3}, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, \frac{13}{3})$

Decrescente su: $(\frac{13}{3}, \infty)$

Passaggio 8