Calcolo Esempi

$f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{4 x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{4 x}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{4 x}{3}$ .

$- \sin (\frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{4 x}{3}) (\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.2

$\frac{4}{3}$ e $\sin (\frac{4 x}{3})$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ .

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Dividi $\sin (\frac{4 x}{3})$ per $1$ .

$\sin (\frac{4 x}{3}) = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$\sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

Passaggio 2.3.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{4 x}{3} = \arcsin (0)$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{4 x}{3} = 0$

Passaggio 2.3.4

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 x = 0$

Passaggio 2.3.5

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x = 0$

Passaggio 2.3.6

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{4 x}{3} = π - 0$

Passaggio 2.3.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1.1

Semplifica $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

Passaggio 2.3.7.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Passaggio 2.3.7.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{1}{4} (4 (x)) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Passaggio 2.3.7.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Passaggio 2.3.7.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{3}{4} (π - 0)$

Passaggio 2.3.7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.2.1

Semplifica $\frac{3}{4} (π - 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.2.1.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = \frac{3}{4} π$

Passaggio 2.3.7.2.2.1.2

$\frac{3}{4}$ e $π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.3.8

Trova il periodo di $\sin (\frac{4 x}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.3.8.2

Sostituisci $b$ con $\frac{4}{3}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{4}{3} |}$

Passaggio 2.3.8.3

$\frac{4}{3}$ corrisponde approssimativamente a $1.\overline{3}$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{4}{3}}$

Passaggio 2.3.8.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \frac{3}{4}$

Passaggio 2.3.8.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.5.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{4}$

Passaggio 2.3.8.5.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (π) \frac{3}{2 (2)}$

Passaggio 2.3.8.5.3

Elimina il fattore comune.

$2 π \frac{3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.8.5.4

Riscrivi l'espressione.

$π \frac{3}{2}$

Passaggio 2.3.8.6

$π$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{π \cdot 3}{2}$

Passaggio 2.3.8.7

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.3.9

Il periodo della funzione $\sin (\frac{4 x}{3})$ è $\frac{3 π}{2}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{3 π}{2}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π n}{2}, \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.4

Consolida le risposte.

$x = \frac{3 π n}{4}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{3 π n}{4}$ .

$\frac{3 π n}{4}$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π n}{4} - 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1)}{3})}{3}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}{3})}{3}$

Passaggio 5.2.1.2

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

Passaggio 5.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 4}{4})}{3})}{3}$

Passaggio 5.2.2

$4$ e $\frac{3 π n - 4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

Passaggio 5.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Riduci l'espressione $\frac{4 (3 π n - 4)}{4}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n - 4}{1}}{3})}{3}$

Passaggio 5.2.3.2

Dividi $3 π n - 4$ per $1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = \frac{3 π n}{4} - 1$ la derivata è $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π n}{4} + 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + 1)}{3})}{3}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{4}{4})}{3})}{3}$

Passaggio 6.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n + 4}{4})}{3})}{3}$

Passaggio 6.2.2

$4$ e $\frac{3 π n + 4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

Passaggio 6.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Riduci l'espressione $\frac{4 (3 π n + 4)}{4}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

Passaggio 6.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n + 4}{1}}{3})}{3}$

Passaggio 6.2.3.2

Dividi $3 π n + 4$ per $1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = \frac{3 π n}{4} + 1$ la derivata è $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, \frac{3 π n}{4}), (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

Passaggio 8