Calcolo Esempi

$f (x) = - 2 x^{2} + 16 \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x^{2} + 16 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [16 \ln (x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [16 \ln (x)]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$- 4 x + 16 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$- 4 x + 16 \frac{1}{x}$

Passaggio 1.1.3.3

$16$ e $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = - 4 x + \frac{16}{x}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x + \frac{16}{x}$ .

$- 4 x + \frac{16}{x}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x + \frac{16}{x} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x + \frac{16}{x} = 0$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x, 1$

Passaggio 2.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $- 4 x + \frac{16}{x} = 0$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $- 4 x + \frac{16}{x} = 0$ per $x$ .

$- 4 x \cdot x + \frac{16}{x} x = 0 x$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$- 4 (x \cdot x) + \frac{16}{x} x = 0 x$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 4 x^{2} + \frac{16}{x} x = 0 x$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 4 x^{2} + \frac{16}{x} x = 0 x$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 4 x^{2} + 16 = 0 x$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x$ .

$- 4 x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 2.4.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x^{2} = - 16$

Passaggio 2.4.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{2} = - 16$ e semplifica.

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Passaggio 2.4.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{2} = - 16$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

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Passaggio 2.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 4}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.2.3.1

Dividi $- 16$ per $- 4$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 2.4.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Passaggio 2.4.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.4.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 2.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.4.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 2.4.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 2.4.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $2, - 2$ .

$2, - 2$

Passaggio 4

Imposta il denominatore in $\frac{16}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 6

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - 4 \cdot - 1 + \frac{16}{- 1}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 + \frac{16}{- 1}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $16$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 - 16$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $16$ da $4$ .

$f' (- 1) = - 12$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 8

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(0, 2)$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - 4 \cdot 1 + \frac{16}{1}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.2.1.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f' (1) = - 4 + \frac{16}{1}$

Passaggio 9.2.1.2

Dividi $16$ per $1$ .

$f' (1) = - 4 + 16$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 4$ e $16$ .

$f' (1) = 12$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $12$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, 2)$ .

Crescente su $(0, 2)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(0, 2), (2, \infty)$

Passaggio 11

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = - 4 \cdot 3 + \frac{16}{3}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 11.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$f' (3) = - 12 + \frac{16}{3}$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- 12$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (3) = - 12 \cdot \frac{3}{3} + \frac{16}{3}$

Passaggio 11.2.3

$- 12$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (3) = \frac{- 12 \cdot 3}{3} + \frac{16}{3}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (3) = \frac{- 12 \cdot 3 + 16}{3}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $- 12$ per $3$ .

$f' (3) = \frac{- 36 + 16}{3}$

Passaggio 11.2.5.2

Somma $- 36$ e $16$ .

$f' (3) = \frac{- 20}{3}$

Passaggio 11.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (3) = - \frac{20}{3}$

Passaggio 11.2.7

La risposta finale è $- \frac{20}{3}$ .

$- \frac{20}{3}$

Passaggio 11.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $- \frac{20}{3}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(2, \infty)$ .

Decrescente su $(2, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 12

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, 2)$

Decrescente su: $(2, \infty)$

Passaggio 13