Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{20 - x - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ come ${(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 20 - x - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $20 - x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $20 - x - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Passaggio 1.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Passaggio 1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Passaggio 1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Passaggio 1.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Passaggio 1.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Passaggio 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta ${(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Passaggio 1.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 - x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.1.9

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.1.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.1.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.1.13

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.1.14

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - (2 x))$

Passaggio 1.1.16

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$

Passaggio 1.1.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.17.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$ .

$(- 1 - 2 x) \frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.17.2

Moltiplica $- 1 - 2 x$ per $\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 1 - 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.17.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.17.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{- 1 (1) - (2 x)}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.17.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (2 x)$ .

$\frac{- 1 (1 + 2 x)}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.17.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 + 2 x = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 2.3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{{(20 - x - x^{2})}^{1}}}$

Passaggio 4.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{20 - x - x^{2}}}$

Passaggio 4.2

Imposta il denominatore in $\frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{20 - x - x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{20 - x - x^{2}} = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{20 - x - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ come ${(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Semplifica ${(2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(20 - x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.4

Semplifica.

$4 (20 - x - x^{2}) = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 \cdot 20 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.6.1

Moltiplica $4$ per $20$ .

$80 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.6.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$80 - 4 x + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.6.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$80 - 4 x - 4 x^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$80 - 4 x - 4 x^{2} = 0$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Scomponi $- 4$ da $80 - 4 x - 4 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1.1.1

Sposta $80$ .

$- 4 x - 4 x^{2} + 80 = 0$

Passaggio 4.3.3.1.1.1.2

Riordina $- 4 x$ e $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

Passaggio 4.3.3.1.1.2

Scomponi $- 4$ da $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

Passaggio 4.3.3.1.1.3

Scomponi $- 4$ da $- 4 x$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

Passaggio 4.3.3.1.1.4

Scomponi $- 4$ da $80$ .

$- 4 x^{2} - 4 x - 4 \cdot - 20 = 0$

Passaggio 4.3.3.1.1.5

Scomponi $- 4$ da $- 4 (x^{2}) - 4 (x)$ .

$- 4 (x^{2} + x) - 4 \cdot - 20 = 0$

Passaggio 4.3.3.1.1.6

Scomponi $- 4$ da $- 4 (x^{2} + x) - 4 (- 20)$ .

$- 4 (x^{2} + x - 20) = 0$

Passaggio 4.3.3.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.2.1

Scomponi $x^{2} + x - 20$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 20$ e la cui somma è $1$ .

$- 4, 5$

Passaggio 4.3.3.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- 4 ((x - 4) (x + 5)) = 0$

Passaggio 4.3.3.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 4 (x - 4) (x + 5) = 0$

Passaggio 4.3.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 4.3.3.3

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.3.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 4.3.3.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 4.3.3.4

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.4.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 4.3.3.4.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 4.3.3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 4 (x - 4) (x + 5) = 0$ vera.

$x = 4, - 5$

Passaggio 4.4

Imposta il radicando in $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$20 - x - x^{2} < 0$

Passaggio 4.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$20 - x - x^{2} = 0$

Passaggio 4.5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Scomponi $- 1$ da $20 - x - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1.1

Sposta $20$ .

$- x - x^{2} + 20 = 0$

Passaggio 4.5.2.1.1.2

Riordina $- x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} - x + 20 = 0$

Passaggio 4.5.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 20 = 0$

Passaggio 4.5.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 20 = 0$

Passaggio 4.5.2.1.4

Riscrivi $20$ come $- 1 (- 20)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 20 = 0$

Passaggio 4.5.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 20 = 0$

Passaggio 4.5.2.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} + x) - 1 (- 20)$ .

$- (x^{2} + x - 20) = 0$

Passaggio 4.5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Scomponi $x^{2} + x - 20$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 20$ e la cui somma è $1$ .

$- 4, 5$

Passaggio 4.5.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- ((x - 4) (x + 5)) = 0$

Passaggio 4.5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 4) (x + 5) = 0$

Passaggio 4.5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 4.5.4

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 4.5.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 4.5.5

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.5.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 4.5.5.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 4.5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 4) (x + 5) = 0$ vera.

$x = 4, - 5$

Passaggio 4.5.7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 5$

$- 5 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 4.5.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 4.5.8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$20 - (- 8) - {(- 8)}^{2} < 0$

Passaggio 4.5.8.1.3

Il lato sinistro di $- 36$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.5.8.2

Testa un valore sull'intervallo $- 5 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 5 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 4.5.8.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$20 - (0) - {(0)}^{2} < 0$

Passaggio 4.5.8.2.3

Il lato sinistro di $20$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.5.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 4.5.8.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$20 - (6) - {(6)}^{2} < 0$

Passaggio 4.5.8.3.3

Il lato sinistro di $- 22$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.5.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Vero

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Vero

Passaggio 4.5.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 5$ o $x > 4$

Passaggio 4.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq - 5, x \geq 4$

$(- \infty, - 5] \cup [4, \infty)$

$x \leq - 5, x \geq 4$

$(- \infty, - 5] \cup [4, \infty)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 5)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f' (- 6) = - \frac{1 + 2 (- 6)}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{1 - 12}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Sottrai $12$ da $1$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - 1 \cdot 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $20$ e $6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(26 - 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.3

Sottrai $36$ da $26$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 6) = \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 6$ la derivata è $\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 5)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 5)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 5, - \frac{1}{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.75$ nell'espressione.

$f' (- 2.75) = - \frac{1 + 2 (- 2.75)}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{1 - 5.5}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Sottrai $5.5$ da $1$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Eleva $- 2.75$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - 1 \cdot 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $7.5625$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $20$ e $2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(22.75 - 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.3

Sottrai $7.5625$ da $22.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {15.1875}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.4

Riscrivi $15.1875$ come ${3.89711431}^{2}$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {({3.89711431}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.5

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 7.2.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 7.2.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Passaggio 7.2.2.7

Calcola l'esponente.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $2$ per $3.89711431$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{7.79422863}$

Passaggio 7.2.3.2

Dividi $- 4.5$ per $7.79422863$ .

$f' (- 2.75) = 0.57735026$

Passaggio 7.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 0.57735026$ .

$f' (- 2.75) = 0.57735026$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $0.57735026$ .

$0.57735026$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 2.75$ la derivata è $0.57735026$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 5, - \frac{1}{2})$ .

Crescente su $(- 5, - \frac{1}{2})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 0.5, 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.75$ nell'espressione.

$f' (1.75) = - \frac{1 + 2 (1.75)}{2 {(20 - (1.75) - {(1.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1.75$ .

$f' (1.75) = - \frac{1 + 3.5}{2 {(20 - (1.75) - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.1.2

Somma $1$ e $3.5$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - (1.75) - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1.75$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Eleva $1.75$ alla potenza di $2$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - 1 \cdot 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3.0625$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $1.75$ da $20$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(18.25 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.3

Sottrai $3.0625$ da $18.25$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {15.1875}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.4

Riscrivi $15.1875$ come ${3.89711431}^{2}$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {({3.89711431}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.5

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 8.2.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 8.2.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Passaggio 8.2.2.7

Calcola l'esponente.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Moltiplica $2$ per $3.89711431$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{7.79422863}$

Passaggio 8.2.3.2

Dividi $4.5$ per $7.79422863$ .

$f' (1.75) = - 1 \cdot 0.57735026$

Passaggio 8.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $0.57735026$ .

$f' (1.75) = - 0.57735026$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 0.57735026$ .

$- 0.57735026$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1.75$ la derivata è $- 0.57735026$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 0.5, 4)$ .

Decrescente su $(- \frac{1}{2}, 4)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = - \frac{1 + 2 (5)}{2 {(20 - (5) - {(5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f' (5) = - \frac{1 + 10}{2 {(20 - (5) - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.2

Somma $1$ e $10$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - (5) - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 1 \cdot 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2.2

Sottrai $5$ da $20$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(15 - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2.3

Sottrai $25$ da $15$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 5$ la derivata è $- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(4, \infty)$ .

Decrescente su $(4, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 5, - \frac{1}{2})$

Decrescente su: $(- \infty, - 5), (- \frac{1}{2}, 4), (4, \infty)$

Passaggio 11