Calcolo Esempi

$f (x) = - 3 x^{2} + 54 \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{2} + 54 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [54 \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $54$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $54 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $54 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$- 6 x + 54 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$- 6 x + 54 \frac{1}{x}$

Passaggio 1.1.3.3

$54$ e $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = - 6 x + \frac{54}{x}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 x + \frac{54}{x}$ .

$- 6 x + \frac{54}{x}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 6 x + \frac{54}{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 6 x + \frac{54}{x} = 0$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x, 1$

Passaggio 2.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $- 6 x + \frac{54}{x} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $- 6 x + \frac{54}{x} = 0$ per $x$ .

$- 6 x \cdot x + \frac{54}{x} x = 0 x$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$- 6 (x \cdot x) + \frac{54}{x} x = 0 x$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 6 x^{2} + \frac{54}{x} x = 0 x$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 6 x^{2} + \frac{54}{x} x = 0 x$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 6 x^{2} + 54 = 0 x$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x$ .

$- 6 x^{2} + 54 = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sottrai $54$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 x^{2} = - 54$

Passaggio 2.4.2

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 x^{2} = - 54$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 x^{2} = - 54$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 54}{- 6}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 54}{- 6}$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 54}{- 6}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Dividi $- 54$ per $- 6$ .

$x^{2} = 9$

Passaggio 2.4.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{9}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica $\pm \sqrt{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 2.4.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 2.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 2.4.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 2.4.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $3, - 3$ .

$3, - 3$

Passaggio 4

Imposta il denominatore in $\frac{54}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 6

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 (- \frac{3}{2}) + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 (\frac{- 3}{2}) + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 (- 3) (\frac{- 3}{2}) + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 3 (\frac{- 3}{2})) + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 3 \cdot - 3 + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + \frac{54}{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 54 (- \frac{2}{3})$

Passaggio 7.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 54 (\frac{- 2}{3})$

Passaggio 7.2.1.4.2

Scomponi $3$ da $54$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 3 (18) (\frac{- 2}{3})$

Passaggio 7.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 3 \cdot (18 (\frac{- 2}{3}))$

Passaggio 7.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 + 18 \cdot - 2$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $18$ per $- 2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 9 - 36$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $36$ da $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 27$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 27$ .

$- 27$

Passaggio 8

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(0, 3)$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = - 6 (\frac{3}{2}) + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 2 (- 3) (\frac{3}{2}) + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

Passaggio 9.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 3 (\frac{3}{2})) + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

Passaggio 9.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot 3 + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + \frac{54}{\frac{3}{2}}$

Passaggio 9.2.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 54 (\frac{2}{3})$

Passaggio 9.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $54$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 3 (18) (\frac{2}{3})$

Passaggio 9.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 3 \cdot (18 (\frac{2}{3}))$

Passaggio 9.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 18 \cdot 2$

Passaggio 9.2.1.5

Moltiplica $18$ per $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 9 + 36$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 9$ e $36$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 27$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $27$ .

$27$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = \frac{3}{2}$ la derivata è $27$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, 3)$ .

Crescente su $(0, 3)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(0, 3), (3, \infty)$

Passaggio 11

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = - 6 \cdot 4 + \frac{54}{4}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$f' (4) = - 24 + \frac{54}{4}$

Passaggio 11.2.1.2

Elimina il fattore comune di $54$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $54$ .

$f' (4) = - 24 + \frac{2 (27)}{4}$

Passaggio 11.2.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f' (4) = - 24 + \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (4) = - 24 + \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (4) = - 24 + \frac{27}{2}$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- 24$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (4) = - 24 \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2}$

Passaggio 11.2.3

$- 24$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (4) = \frac{- 24 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (4) = \frac{- 24 \cdot 2 + 27}{2}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $- 24$ per $2$ .

$f' (4) = \frac{- 48 + 27}{2}$

Passaggio 11.2.5.2

Somma $- 48$ e $27$ .

$f' (4) = \frac{- 21}{2}$

Passaggio 11.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (4) = - \frac{21}{2}$

Passaggio 11.2.7

La risposta finale è $- \frac{21}{2}$ .

$- \frac{21}{2}$

Passaggio 11.3

In corrispondenza di $x = 4$ la derivata è $- \frac{21}{2}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(3, \infty)$ .

Decrescente su $(3, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 12

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, 3)$

Decrescente su: $(3, \infty)$

Passaggio 13