Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} + 16}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 16$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 16}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 16}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 16}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.3.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$f' (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(x + 4) (x - 4) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 2.3.3

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 4) (x - 4) = 0$ vera.

$x = - 4, 4$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- 4, 4$ .

$- 4, 4$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f' (- 5) = \frac{((- 5) + 4) ((- 5) - 4)}{{(- 5)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $- 5$ e $4$ .

$f' (- 5) = \frac{- 1 (- 5 - 4)}{{(- 5)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Sottrai $4$ da $- 5$ .

$f' (- 5) = \frac{- 1 \cdot - 9}{{(- 5)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 5) = \frac{- 1 \cdot - 9}{25}$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$f' (- 5) = \frac{9}{25}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $\frac{9}{25}$ .

$\frac{9}{25}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 5$ la derivata è $\frac{9}{25}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 4)$ .

Crescente su $(- \infty, - 4)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 4, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{((- 2) + 4) ((- 2) - 4)}{{(- 2)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Somma $- 2$ e $4$ .

$f' (- 2) = \frac{2 (- 2 - 4)}{{(- 2)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Sottrai $4$ da $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{2 \cdot - 6}{{(- 2)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = \frac{2 \cdot - 6}{4}$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f' (- 2) = \frac{- 12}{4}$

Passaggio 7.2.2.3

Dividi $- 12$ per $4$ .

$f' (- 2) = - 3$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 4, 0)$ .

Decrescente su $(- 4, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{((2) + 4) ((2) - 4)}{{(2)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Somma $2$ e $4$ .

$f' (2) = \frac{6 (2 - 4)}{2^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Sottrai $4$ da $2$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot - 2}{2^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot - 2}{4}$

Passaggio 8.2.2.2

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$f' (2) = \frac{- 12}{4}$

Passaggio 8.2.2.3

Dividi $- 12$ per $4$ .

$f' (2) = - 3$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 4)$ .

Decrescente su $(0, 4)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = \frac{((5) + 4) ((5) - 4)}{{(5)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Somma $5$ e $4$ .

$f' (5) = \frac{9 (5 - 4)}{5^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2

Sottrai $4$ da $5$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 1}{5^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 1}{25}$

Passaggio 9.2.2.2

Moltiplica $9$ per $1$ .

$f' (5) = \frac{9}{25}$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $\frac{9}{25}$ .

$\frac{9}{25}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 5$ la derivata è $\frac{9}{25}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(4, \infty)$ .

Crescente su $(4, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 4), (4, \infty)$

Decrescente su: $(- 4, 0), (0, 4)$

Passaggio 11