Calcolo Esempi

$f (x) = e^{2 x - 4}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = e^{2 x - 4}$ come un'equazione.

$y = e^{2 x - 4}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = e^{2 y - 4}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $e^{2 y - 4} = x$ .

$e^{2 y - 4} = x$

Passaggio 3.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{2 y - 4}) = \ln (x)$

Passaggio 3.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Espandi $\ln (e^{2 y - 4})$ spostando $2 y - 4$ fuori dal logaritmo.

$(2 y - 4) \ln (e) = \ln (x)$

Passaggio 3.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(2 y - 4) \cdot 1 = \ln (x)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2 y - 4$ per $1$ .

$2 y - 4 = \ln (x)$

Passaggio 3.4

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y = \ln (x) + 4$

Passaggio 3.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (x) + 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (x) + 4$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{4}{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{4}{2}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{4}{2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Dividi $4$ per $2$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + 2$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + 2$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + 2$ è l'inverso di $f (x) = e^{2 x - 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (e^{2 x - 4})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{\ln (e^{2 x - 4})}{2} + 2$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Espandi $\ln (e^{2 x - 4})$ spostando $2 x - 4$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{(2 x - 4) \ln (e)}{2} + 2$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2 x - 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $(2 x - 4) \ln (e)$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{2 ((x - 2) \ln (e))}{2} + 2$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{2 ((x - 2) \ln (e))}{2 (1)} + 2$

Passaggio 5.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{2 ((x - 2) \ln (e))}{2 \cdot 1} + 2$

Passaggio 5.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{(x - 2) \ln (e)}{1} + 2$

Passaggio 5.2.3.2.2.4

Dividi $(x - 2) \ln (e)$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = (x - 2) \ln (e) + 2$

Passaggio 5.2.3.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

Passaggio 5.2.3.4

Moltiplica $x - 2$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = x - 2 + 2$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x - 2 + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (x)}{2} + 2)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + 2) - 4}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (x)}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + 2) - 4}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (x)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2) - 4}$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 2 - 4}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 \cdot 2 - 4}$

Passaggio 5.3.3.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 - 4}$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 - 4}$

Passaggio 5.3.3.5.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 - 4}$

Passaggio 5.3.3.5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x^{1}) + 4 - 4}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Semplifica.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x) + 4 - 4}$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $\ln (x) + 4 - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x) + 0}$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $\ln (x)$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x)}$

Passaggio 5.3.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + 2$ è l'inverso di $f (x) = e^{2 x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + 2$