Calcolo Esempi

$y = \ln^{3} (x)$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \ln^{3} (y)$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\ln^{3} (y) = x$ .

$\ln^{3} (y) = x$

Passaggio 2.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\ln^{3} (y) = x$

Passaggio 2.2.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\ln (y) = \sqrt[3]{x}$

Passaggio 2.2.2.2

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[3]{x}}$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi $\ln (y) = \sqrt[3]{x}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt[3]{x}} = y$

Passaggio 2.2.2.4

Riscrivi l'equazione come $y = e^{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = e^{\sqrt[3]{x}}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ è l'inverso di $f (x) = \ln^{3} (x)$ .

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Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\ln^{3} (x))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

Passaggio 4.2.3

Rimuovi le parentesi.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

Passaggio 4.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\ln (x)}$

Passaggio 4.2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (e^{\sqrt[3]{x}})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = \ln^{3} (e^{\sqrt[3]{x}})$

Passaggio 4.3.3

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $\sqrt[3]{x}$ dall'esponente.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \ln (e))}^{3}$

Passaggio 4.3.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \cdot 1)}^{3}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $\sqrt[3]{x}$ per $1$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Passaggio 4.3.6

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ come $x$ .

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Passaggio 4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Passaggio 4.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Passaggio 4.3.6.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

Passaggio 4.3.6.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

Passaggio 4.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

Passaggio 4.3.6.5

Semplifica.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ è l'inverso di $f (x) = \ln^{3} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$